Iloczyn skalarny

[myky]

Proszę o pomoc w zrozumieniu czwartego warunku iloczynu skalarnego, który brzmi:

\(\displaystyle{ ( \vec{u},\vec{u}) \ge 0}\)

Na przykładzie następującym:

\(\displaystyle{ (\vec{x},\vec{x}) = 3x_{1}^{2} - 4x_{1}x_{2} + 4x_{2}^{2}}\)

Wiem, ze jest to trójmian kwadratowy zmiennej x, dla którego \(\displaystyle{ \Delta = -32(x_{2})^{2} \le 0}\). Ale dlaczego stad wynika, ze \(\displaystyle{ (\vec{x},\vec{x}) \ge 0}\)?

[Crizz]

Skoro delta jest zawsze niedodatnia, to trójmian albo nie ma pierwiastków (i skoro współczynnik przy \(\displaystyle{ x-{1}^{2}}\) jest dodatni, to wykres trójmianu leży zawsze nad osią Ox, czyli nie osiąga wartości ujemnych) albo ma jeden pierwiastek przy \(\displaystyle{ x_{2}=0}\) (ale wtedy wykres jest styczny do osi Ox i poza punktem \(\displaystyle{ x_{0}=0}\) nie osiąga wartości niedodatnich dla żadnego x).

Ogólnie \(\displaystyle{ (\vec{x},\vec{x})=|\vec{x}| \ge 0}\)