układ równań

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
mozol_pl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 31 sty 2009, o 01:05
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

układ równań

Post autor: mozol_pl »

Mam trudność z rozwiązaniem poniższych układów równań. Nie są trudne, poczytałem trochę o metodzie gauss'a i metodzie kolumn jednostkowych, ale wciąż nie wiem jak to do końca się liczy. Bardzo zależy mi na zrozumieniu tych zagadnień ;).

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} + 2x_{2} +3x_{3} - 2x_{4} +x_{5} = 4 \\ x_{1} + 2x_{2} +7x_{3} - 4x_{4} +x_{5} = 11 \\ 2x_{1} + 4x_{2} +2x_{3} - 3x_{4} +3x_{5} = 6 \\ 3x_{1} + 6x_{2} +5x_{3} - 4x_{4} +3x_{5} = 5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} + 2x_{2} +3x_{3} - 2x_{4} +x_{5} = 0 \\ x_{1} + 2x_{2} +7x_{3} - 4x_{4} +x_{5} = 0 \\ 2x_{1} + 4x_{2} +2x_{3} - 3x_{4} +3x_{5} = 0 \\ 3x_{1} + 6x_{2} +5x_{3} - 4x_{4} +3x_{5} = 0 \end{cases}}\)

Z góry dzięki za pomoc!
Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 137 razy

układ równań

Post autor: Dedemonn »

1)

Wiążemy z podanym układem równań macierz i przy użyciu operacji elementarnych (bez operacji na kolumnach!) staramy się uzyskać jak najwięcej zer :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & -2 & 1 & | & 4 \\ 1 & 2 & 7 & -4 & 1 & | & 11 \\ 2 & 4 & 2 & -3 & 3 & | & 6 \\ 3 & 6 & 5 & -4 & 3 & | & 5 \end{bmatrix} \overline{\overline{ W_4-3W_1 , W_3-2W_1 , W_2-W_1}} \\
| \\
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & | & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 &| & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & | & -7 \end{bmatrix} \overline{\overline{W_4+W_3 , W_1+W_2}} \\
| \\
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & | & -6 \end{bmatrix}}\)


I mamy

\(\displaystyle{ 3x_4 = -6 \ \Rightarrow \ x_3 = -2 \\
x_3+x_4 = 1 \ \Rightarrow \ x_3 = 3 \\
3x_3-x_5 = 3 \ \Righarrow \ x_5 = 6 \\
x_1+2x_2+4x_3 = 0 \ \Rightarrow \ x_1 = -2x_2-12}\)


Zatem układ jest nieoznaczony.


Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ