Znaleźć punkt symetryczny do punktu

[Macius700]

Znaleźć punkt symetryczny do punktu \(\displaystyle{ P(4,3,10)}\) względem prostej \(\displaystyle{ x=1+2t}\) , \(\displaystyle{ y=2+4t}\) , \(\displaystyle{ z=3+5t}\)

[thomas00]

musisz wyznaczyc najpierw rownanie plaszczyzny prostopadlej do danej prostej i zawierajacej punkt P
\(\displaystyle{ \vec{v}=[2,4,5]\\
P=(4,3,10)\\
\pi= 2(x-4) + 4(y-3) + 5(z-10)=0\\
2x-8+4y-12+5z-50=0\\
2x+4y+5z -70=0\\}\)
teraz szukasz punktu wspolnego prostej i tej plaszczyzny
\(\displaystyle{ 2(1+2t) + 4(2+4t) + 5 (3+5t) - 70 =0\\
t=-1\\}\)
punkt wspolny ma wspolrzedne \(\displaystyle{ S=(-1,-2,-2)}\)
niech szukany punkt symetryczny ma wsplrzedne Q=(a,b,c)
\(\displaystyle{ \frac{a+4}{2}=-1 \Rightarrow a=-6\\
\frac{b+3}{2}=-2 \Rightarrow b=-7\\
\frac{c+10}{2}=-2 \Rightarrow c=-14\\}\)
wiec punkt symetryczny ma wspolrzedne\(\displaystyle{ Q=(-6, -7,-14)}\)