Mam wyznaczyć rozwiązania w zależności od parametru a(rzeczywiste):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-z=a \\ 4x+ay-2z=4 \end{cases}}\)
Dla a=2 r(A)=r(Ab)=1, a więc układ ma rozwiązania zależne od 3-1=2 parametrów.
I teraz problem, bo przecież każdy z minorów będzie równy 0...
Co trzeba zrobić?
Układ równań z parametrem. Każdy minor=0
-
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 29 maja 2008, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 1 raz
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Układ równań z parametrem. Każdy minor=0
Wybieramy taki minor, który zawiera parametr a. Np.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & a \\ a & 4 \end{bmatrix}}\)
Liczymy wyznacznik tego minora i przyrównujemy go do zera.
Jak wiemy (z jakiegoś tam twierdzenia) rząd macierzy jest równy stopniowi największego niezerującego się minoru. Czyli gdy
\(\displaystyle{ a \neq -2 \wedge a \neq 2 \ \Righarrow}\) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo \(\displaystyle{ rzA = rz(A|B) \neq}\) ilość parametrów.
Aby sprawdzić ile ma rozwiązań dla a=-2 i a=-2, to wstawiasz te wartości i sprawdzasz osobno rzędy macierzy rozszerzonej i nierozszerzonej.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & a \\ a & 4 \end{bmatrix}}\)
Liczymy wyznacznik tego minora i przyrównujemy go do zera.
Jak wiemy (z jakiegoś tam twierdzenia) rząd macierzy jest równy stopniowi największego niezerującego się minoru. Czyli gdy
\(\displaystyle{ a \neq -2 \wedge a \neq 2 \ \Righarrow}\) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo \(\displaystyle{ rzA = rz(A|B) \neq}\) ilość parametrów.
Aby sprawdzić ile ma rozwiązań dla a=-2 i a=-2, to wstawiasz te wartości i sprawdzasz osobno rzędy macierzy rozszerzonej i nierozszerzonej.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 29 maja 2008, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 1 raz
Układ równań z parametrem. Każdy minor=0
na cwiczeniach robiliśmy tak że należało teraz uzależnić rozwiązania od parametrów (w tym przpadku od 3-1=2parametrów).
przy sprawdzaniu dla a=2, wychodzi że obydwa równania są liniowo zależne, każdy minor=0.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-z=2 \\ 4x+2y-2z=4 \end{cases}}\)
z tego wnioskuję że wystarczy napisać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=s \\ z=2t+s-2 \end{cases}}\)
a w dopowiedziach jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=s \\ z=2t+s+2 \end{cases}}\)
Czemu mam źle?
przy sprawdzaniu dla a=2, wychodzi że obydwa równania są liniowo zależne, każdy minor=0.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-z=2 \\ 4x+2y-2z=4 \end{cases}}\)
z tego wnioskuję że wystarczy napisać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=s \\ z=2t+s-2 \end{cases}}\)
a w dopowiedziach jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=s \\ z=2t+s+2 \end{cases}}\)
Czemu mam źle?
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Układ równań z parametrem. Każdy minor=0
Nie masz źle.
Wyniku nie jest trudno sprawdzić. Bierzemy np. :
(wg Twoich rozwiązań)
\(\displaystyle{ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 2 + 2 - 2 = 2}\)
Wstawiamy do równania i się zgadza.
Natomiast:
(wg książkowego wyniku)
\(\displaystyle{ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 2 + 2 +2 = 6}\)
mamy
\(\displaystyle{ 2+2-6 \neq 2}\)
Wyniku nie jest trudno sprawdzić. Bierzemy np. :
(wg Twoich rozwiązań)
\(\displaystyle{ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 2 + 2 - 2 = 2}\)
Wstawiamy do równania i się zgadza.
Natomiast:
(wg książkowego wyniku)
\(\displaystyle{ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 2 + 2 +2 = 6}\)
mamy
\(\displaystyle{ 2+2-6 \neq 2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 29 maja 2008, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 1 raz