Układ równań z parametrem. Każdy minor=0

[wroblewskigreg]

Mam wyznaczyć rozwiązania w zależności od parametru a(rzeczywiste):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-z=a \\ 4x+ay-2z=4 \end{cases}}\)


Dla a=2 r(A)=r(Ab)=1, a więc układ ma rozwiązania zależne od 3-1=2 parametrów.

I teraz problem, bo przecież każdy z minorów będzie równy 0...

Co trzeba zrobić?

[Dedemonn]

Wybieramy taki minor, który zawiera parametr a. Np.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & a \\ a & 4 \end{bmatrix}}\)

Liczymy wyznacznik tego minora i przyrównujemy go do zera.
Jak wiemy (z jakiegoś tam twierdzenia) rząd macierzy jest równy stopniowi największego niezerującego się minoru. Czyli gdy

\(\displaystyle{ a \neq -2 \wedge a \neq 2 \ \Righarrow}\) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo \(\displaystyle{ rzA = rz(A|B) \neq}\) ilość parametrów.

Aby sprawdzić ile ma rozwiązań dla a=-2 i a=-2, to wstawiasz te wartości i sprawdzasz osobno rzędy macierzy rozszerzonej i nierozszerzonej.


Pozdrawiam.

[wroblewskigreg]

na cwiczeniach robiliśmy tak że należało teraz uzależnić rozwiązania od parametrów (w tym przpadku od 3-1=2parametrów).

przy sprawdzaniu dla a=2, wychodzi że obydwa równania są liniowo zależne, każdy minor=0.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-z=2 \\ 4x+2y-2z=4 \end{cases}}\)


z tego wnioskuję że wystarczy napisać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=s \\ z=2t+s-2 \end{cases}}\)

a w dopowiedziach jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=s \\ z=2t+s+2 \end{cases}}\)

Czemu mam źle?

[Dedemonn]

Nie masz źle.

Wyniku nie jest trudno sprawdzić. Bierzemy np. :

(wg Twoich rozwiązań)

\(\displaystyle{ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 2 + 2 - 2 = 2}\)

Wstawiamy do równania i się zgadza.

Natomiast:

(wg książkowego wyniku)

\(\displaystyle{ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 2 + 2 +2 = 6}\)

mamy

\(\displaystyle{ 2+2-6 \neq 2}\)

[wroblewskigreg]

dzięki, juz mi sie trochę miesza...
Pozdrawiam