Wektory własne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
WALDI1988
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 24 sty 2009, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Wektory własne

Post autor: WALDI1988 »

Mam pewien problem . Mam wyznaczy wektory własne i wartości własne macierzy :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2\\-2&0\end{bmatrix}}\)
obliczyłem det(A-\(\displaystyle{ \lambda}\)I) \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 0-\lambda&2\\-2&0-\lambda\end{vmatrix}}\) i wyszlo \(\displaystyle{ \lambda^{2} + 4}\)
przyrównałem to do zera i wyszły takie wartości własne ponieważ delata była ujemna
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=2i \lambda_{2}=-2i}\)

Ułożyłem dwa równania :
dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2i x_{1}+2 x_{2}=0 \\-2 x_{1}-2i x_{2}=0 \end{cases}}\)

oraz dla
\(\displaystyle{ \lambda_{2}=-2i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2i x_{1}+2 x_{2}=0 \\-2 x_{1}+2i x_{2}=0 \end{cases}}\)

I co z tym mam dalej zrobic zeby wyliczyc te wketory własne?
PROSIŁBYM by ktos wyjasnil mi tak bym w kazdym zadaniu wiedział co po tym etapie robie.
Byłby wielce wdzięczny.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Wektory własne

Post autor: »

WALDI1988 pisze:Ułożyłem dwa równania :
dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2i x_{1}+2 x_{2}=0 \\-2 x_{1}-2i x_{2}=0 \end{cases}}\)
(...)
I co z tym mam dalej zrobic zeby wyliczyc te wketory własne?
Najpierw zauważyć, że oba równania to to samo (drugie to pierwsze pomnożone przez \(\displaystyle{ i}\)), więc wystarczy zająć się jednym. Z pierwszego wynika, że \(\displaystyle{ x_2=ix_1}\), stąd wektor \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\) spełniający to równanie ma postać \(\displaystyle{ (x_1,ix_1) = x_1 \cdot (1,i)}\). Czyli za wektor własny odpowiadający tej przestrzeni własnej możemy tu przyjąć \(\displaystyle{ (1,i)}\) (lub dowolną jego wielokrotność, wszystko jedno).

Q.
WALDI1988
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 24 sty 2009, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Wektory własne

Post autor: WALDI1988 »

Yhy no to wiem odnosnie tego układu równań a co z drugim wektorem ??
Będzie miał postać tez? Bo z tego co widze w drugim ukladzie rownan drugie rownanie jest pomnozone przez -i czyli wyszedl by wektro własny \(\displaystyle{ X_{2} ( x_{1} ,-i x_{2} )}\)
ODPOWIEDZ