Macierz do potegi 99

[Macabre]

Obliczyc macierz

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&1\\-2&1\end{bmatrix}^{99}}\)

[miodzio1988]

podnies taką macierz do potęgi trzeciej . Pozniej do potegi czwartej. Juz w tym miejscu pewne wyrazy tej macierzy winny sie powtarzac. Tworzymy wzor ogolny potegowanie tejze macierzy. Robimy dowod indukcyjny, a potem za n podstawiamy 99;]

[N4RQ5]

Takie potęgi najłatwiej liczyć z Twierdzenie Jordana. Znajdź dla tej macierzy bazę Jordana. Macierze w takiej bazie mają stosunkowo prostą postać i dosyć łatwo podnosi się je do dowolnych potęg. Potem taką macierz podniesioną do potęgi trzeba obustronnie obłożyć odpowiednimi macierzami przejścia z bazy Jordana do standardowej i odwrotnie.

[Macabre]

\(\displaystyle{ \lambda_{1}=2 \\ \lambda_{2}=3 \\ \\ V_{\lambda_{1}}=\begin{bmatrix} t\\2t\end{bmatrix} \\ \\V_{\lambda_{2}}=\begin{bmatrix} t\\-t\end{bmatrix} \\ \\Postac \ Jordana \\ \\ J=\begin{bmatrix} 6&3\\0&-3\end{bmatrix}}\)

Niech ktos pomoze bo nie wiem dokladnie co z tym robic, podalem wszystko co udalo mi sie obliczyc, heh

[N4RQ5]

masz dwa wektory własne [1,-2] i [1,-1] (przy pierwszym coś źle policzyłeś) tworzące macierz Jordana. W tej bazie macierz ma postać:
\(\displaystyle{ J=\left[\begin{matrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{matrix}\right]}\)
I do 99 potęgi podnosi się prosto bo wygląda tak:
\(\displaystyle{ J^{99}=\left[\begin{matrix} 2^{99} & 0\\ 0 & 3^{99} \end{matrix}\right]}\)
Musisz teraz znaleźć macierze przejścia z twoje bazy Jordana do bazy standardowej i odwrotnie i przez nie przemnożyć z odpowiednich stron.
Jedna jest prosta bo to Twoje wektory z bazy Jordana wpisane w kolumny. Druga to jej macierz odwrotna:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{matrix} 1 & 1\\ -2 & -1 \end{matrix}\right]}\)
Niech D to Twoja początkowa macierz:
\(\displaystyle{ D^{99}=AJ^{99}A^{-1}}\)