macierz - wartości własne, wektory własne

[vanish468]

Dana jest macierz \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&0&1&0&1&0&1&0&1 \\ 2&1&0&1&0&1&0&1&0 \end {bmatrix}}\)
a) obliczyć macierz \(\displaystyle{ AA ^{t}}\)
b) obliczyć wartości własne \(\displaystyle{ \lambda _{1},\lambda _{2}}\) macierzy \(\displaystyle{ AA ^{t}}\) oraz wartości szczególne \(\displaystyle{ \sigma _{1},\sigma _{2}}\) macierzy \(\displaystyle{ A}\) przy czym \(\displaystyle{ \sigma _{1}<\sigma _{2}}\)
c) wyznaczyć wektory własne macierzy \(\displaystyle{ AA ^{t}}\)
d) obliczyć macierz \(\displaystyle{ U}\) dekompozycji SVD macierzy \(\displaystyle{ A}\), tj \(\displaystyle{ A=U \cdot \Sigma \cdot V ^{t} , \Sigma= \begin{bmatrix} \sigma _{1}&0 \\ 0&\sigma _{2}\end {bmatrix}}\)
e) wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ V ^{t}}\)

[Szemek]

a)
\(\displaystyle{ A \cdot A^T = \begin{bmatrix} 1&0&1&0&1&0&1&0&1 \\ 2&1&0&1&0&1&0&1&0 \end {bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&2 \\ 0&1 \\ 1&0 \\ 0&1 \\ 1&0 \\ 0&1 \\ 1&0 \\ 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5&2 \\ 2& 8\end{bmatrix}}\)
b) \(\displaystyle{ A\cdot A^T = B = \begin{bmatrix} 5&2 \\ 2& 8\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \hbox{det} (B - \lambda I) = \begin{vmatrix} 5-\lambda&2 \\ 2&8-\lambda \end{vmatrix} = (5-\lambda)(8-\lambda)-4 = \lambda^2-13\lambda+36 = (\lambda-4)(\lambda-9)}\)
\(\displaystyle{ \lambda_1=4, \; \lambda_2=9}\)