Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania
Wskazać bazę i określić wymiary przestrzeni wektorowej:
\(\displaystyle{ V = \{ W \in R _{4} [x] : W(2x) = 4x \cdot W'(x) + W(0) \}}\)
Z góry dziękuję za pomoc
Baza i wymiar przestrzeni wektorowych
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Baza i wymiar przestrzeni wektorowych
Wielomian stopnia co najwyżej czwartego jest postaci:
\(\displaystyle{ W(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}\)
Równość określająca wielomiany z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), to:
\(\displaystyle{ 16ax^4+8bx^3+4cx^2+2dx+e = 16ax^4+12bx^3+8cx^2+4dx+e}\)
Ponieważ jest to równość wielomianów, więc odpowiednie współczynniki muszą być równe, skąd \(\displaystyle{ b=c=d=0}\), \(\displaystyle{ a,e}\) - dowolne. Ergo: w tej przestrzeni są wyłącznie wielomiany postaci \(\displaystyle{ ax^4+e}\), czyli \(\displaystyle{ V = lin \{ x^4,1 \}}\), te dwa wielomiany są więc jej bazą, a wymiar to dwa.
Q.
\(\displaystyle{ W(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}\)
Równość określająca wielomiany z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), to:
\(\displaystyle{ 16ax^4+8bx^3+4cx^2+2dx+e = 16ax^4+12bx^3+8cx^2+4dx+e}\)
Ponieważ jest to równość wielomianów, więc odpowiednie współczynniki muszą być równe, skąd \(\displaystyle{ b=c=d=0}\), \(\displaystyle{ a,e}\) - dowolne. Ergo: w tej przestrzeni są wyłącznie wielomiany postaci \(\displaystyle{ ax^4+e}\), czyli \(\displaystyle{ V = lin \{ x^4,1 \}}\), te dwa wielomiany są więc jej bazą, a wymiar to dwa.
Q.