macierze - wyznacznik, macierz odwrotna, układy równań

[w22]

Proszę o pomoc jak się oblicza
1.wyznacznik stopnia czwartego
2.macierz odwrotną do macierzy stopnia trzeciego wraz ze sprawdzeniem wyniku.
3.układy równań
a) Kramera
b) oznaczony i nie oznaczony.

Proszę o nie podawanie wzorów tylko gotowe rozwiązane przykłady.

[pawelkazik6]

na tej stronie są przykładowe zadania z macierzy wraz z rozwiązaniem krok po kroku

[w22]

znalazłem macierz stopnia trzeciego ale nie ma opisane jak sprawdza się wynik.
Poza tym jak oblicza się wyznacznik macierzy stopnia 4
===========================================================
ok Sprawdzanie wyniku to A*A^-1, wyznacznik macierzy stopnia 4 znalazłem układ Kremera także ale jak oblicza się układ oznaczony i nie oznaczony.

[Mraauuu]

np. z rozwinięcia Laplace'a. Na macierze powyżej 3 stopnia nie ma gotowych wzorków

[pawelkazik6]

Mraauuu ma rację nie ma gotowych wzorków na macierze powyżej 3 stopnia.można je policzyć albo rozwinięcie Laplace*a albo własności wyznaczników.

[pawelkazik6]

tutaj jest przykład obliczenia wyznacznika macierzy wyższego stopnia niż 3
... raph1_a=10

[Mraauuu]

taka rada...jak masz np wyznacznik 4 stopnia to lepiej(jeżeli łatwo da) zrobić sobie w jakiejś kolumnie 3zera i liczbę(lub w wierszu), wtedy rozwinięcie Laplace'a sie urpości, albo spr. macierz do macierzy trójkątnej, wtedy wyznacznik to iloczyn elementów na diagonali, są też inne wzorki na poszczególne macierze, ale one dotyczą tylko jednego rodzaju(np. wyznacznik Vandermonda)

[Sir George]

To ja wrzucę jeszcze moje 3 grosze... czyli taki mały algorytm liczenia wyznacznika macierzy dowolnego stopnia (no, może nie każdego - są pewne wyjątki), którego nauczyłem się od Rosjan

Powiedzmy, że mamy do obliczenia wyznacznik macierzy kwadratowej wymiaru nxn: \(\displaystyle{ A=\big(a_{i,j}\big)_{i,j=1}^n}\).

Krok 0. Oznaczamy \(\displaystyle{ A_0=A}\), \(\displaystyle{ a_{i,j}^{(0)}=a_{i,j}}\)

Krok 1. Tworzymy macierz (n-1)x(n-1): \(\displaystyle{ A_1=\big(a_{i,j}^{(1)}\big)_{i,j=1}^{n-1}}\), której wyrazy są wyznacznikami odpowiednich minorów 2x2 macierzy \(\displaystyle{ A}\), tj. \(\displaystyle{ a_{i,j}^{(1)}=a_{i,j}a_{i+1,j+1}-a_{i+1,j}a_{i,j+1}}\).

Krok rekurencyjny. Mamy już macierze \(\displaystyle{ A_{k-1}}\) i \(\displaystyle{ A_k}\). Tworzymy teraz macierz (n-k-1)x(n-k-1): \(\displaystyle{ A_{k+1}=\big(a_{i,j}^{(k+1)}\big)_{i,j=1}^{n-k-1}}\), której wyrazy są równe wyznacznikom odpowiednich minorów 2x2 macierzy \(\displaystyle{ A_k}\) podzielonych przez wyrazy leżące w ich środku macierzy \(\displaystyle{ A_{k-1}}\), tj. \(\displaystyle{ a_{i,j}^{(k+1)}=\frac1{a_{i+1,j+1}^{(k-1)}} \big(a_{i,j}^{(k)}a_{i+1,j+1}^{(k)}-a_{i+1,j}^{(k)}a_{i,j+1}^{(k)}\big)}\).

Można pokazać (nie są to skomplikowane rachunki), że \(\displaystyle{ A_{n-1}=\det A}\).

Może to skomplikowanie wygląda, ale jak pisze się to na kartce, gdzie między wyrazy macierzy można wpisywać nowe (a jeszcze lepiej na tablicy, gdzie można wycierać stare wyrazy!), to zapada ten sposób łatwo w pamięć.

Jak widać cały algorytm pada, jeśli któryś z wyrazów macierzy pośrednich jest równy zero. Jest sposób ominięcia, ale nie pamiętam go teraz; może uda mi się go sobie przypomnieć - niestety, nie stosowałem tego sposobu w praktyce już od wielu lat...