Zbadać, czy poniższy układ równań jest rozwiązalny, a jeśli jest rozwiązalny, to sprawdzić, czy jest oznaczony, czy nieoznaczony i od ilu parametrów zależy rozwiązanie.
5x + 4y - 2y + 3u = 2
3x + 2y - 6z + 9u = 4
4x + 3y - 4z + 6u = 3
Układ równań liniowych jest rozwiazalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A współczynników i macierz M układu mają ten sam rząd.
Czy może mi ktoś tak jakoś po ludzku wyjaśnić, jak obliczyć te chore rzędy? Znajdzie się ktoś na tyle miły? ;p Z góry dziękuje.
Rzędy macierzy x.x
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Rzędy macierzy x.x
mamy układ 3 równań z 4 niewiadomymi a więc nie moze być on układem równań niezależnych gdyz na pierwszy rzut oka widać, ze jeżeli jest rozwiazywalny to bedzie zależny od jakiegoś parametru.
liczyby rzad macierzy głównej i uzupelnionej
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&4&-2&3 \left|2\\3&2&-6&9 \left|4\\4&3&-4&6 \left|3 \end{bmatrix}}\) wiersz 2 mnozymy przez (1/3) i zamieniamy go z wierszem 1
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& \frac{2}{3} &-2&3 \left| \frac{4}{3} \\5&4&-2&3 \left|2\\4&3&-4&6 \left|3 \end{bmatrix}}\) do wiersza 2 dodajemy wiersz 12 pomnozony przez (-5), do wiersza 3 dodajemy wiersz 1 pomnozony przez (-4)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& \frac{2}{3} &-2&3 \left| \frac{4}{3} \\0& \frac{2}{3} &8&-12 \left|- \frac{14}{3} \\0& \frac{1}{3} &4&-6 \left|- \frac{7}{3} \end{bmatrix}}\) do wiersz 2 dodajemy wiersz 3 pomnozony przez (-2)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& \frac{2}{3} &-2&3 \left| \frac{4}{3} \\0&0&0&0 \left|0 \\0& \frac{1}{3} &4&-6 \left|- \frac{7}{3} \end{bmatrix}}\)
drugi wiersz wyzerował sie wiec go pomijamy
teraz wiemy że RzA = 2 i Rz A|b = 2 Rzędy macierzy sa równe ale mniejsze od liczby parametrów tak wiec jest to układ równań rozwiazywalny ale zalezny od 2 parametrów
teraz rozwiązujemy od końca przepisujac z macierzy w układ równań
za u podstawimy sobie parametr np. "t" a za z podstawimy parametr "v" i otrzymujemy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u=t\\z=v\\ \frac{1}{3}y+4z-6u=- \frac{7}{3} \Rightarrow \frac{1}{3}y=- \frac{7}{3}-4z+18u \Rightarrow y=-7-12z+18u \Rightarrow y=18t-12v-7\\ x-10z+15u=6 \Rightarrow x=6+10z-15u \Rightarrow x=6+10v-15t \end{cases}}\)
teraz tylko uporządkować i mamy
egin{cases} x=6+10v-15t\ y=18t-12v-7\z=v\u=t end{cases}
liczyby rzad macierzy głównej i uzupelnionej
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&4&-2&3 \left|2\\3&2&-6&9 \left|4\\4&3&-4&6 \left|3 \end{bmatrix}}\) wiersz 2 mnozymy przez (1/3) i zamieniamy go z wierszem 1
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& \frac{2}{3} &-2&3 \left| \frac{4}{3} \\5&4&-2&3 \left|2\\4&3&-4&6 \left|3 \end{bmatrix}}\) do wiersza 2 dodajemy wiersz 12 pomnozony przez (-5), do wiersza 3 dodajemy wiersz 1 pomnozony przez (-4)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& \frac{2}{3} &-2&3 \left| \frac{4}{3} \\0& \frac{2}{3} &8&-12 \left|- \frac{14}{3} \\0& \frac{1}{3} &4&-6 \left|- \frac{7}{3} \end{bmatrix}}\) do wiersz 2 dodajemy wiersz 3 pomnozony przez (-2)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& \frac{2}{3} &-2&3 \left| \frac{4}{3} \\0&0&0&0 \left|0 \\0& \frac{1}{3} &4&-6 \left|- \frac{7}{3} \end{bmatrix}}\)
drugi wiersz wyzerował sie wiec go pomijamy
teraz wiemy że RzA = 2 i Rz A|b = 2 Rzędy macierzy sa równe ale mniejsze od liczby parametrów tak wiec jest to układ równań rozwiazywalny ale zalezny od 2 parametrów
teraz rozwiązujemy od końca przepisujac z macierzy w układ równań
za u podstawimy sobie parametr np. "t" a za z podstawimy parametr "v" i otrzymujemy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u=t\\z=v\\ \frac{1}{3}y+4z-6u=- \frac{7}{3} \Rightarrow \frac{1}{3}y=- \frac{7}{3}-4z+18u \Rightarrow y=-7-12z+18u \Rightarrow y=18t-12v-7\\ x-10z+15u=6 \Rightarrow x=6+10z-15u \Rightarrow x=6+10v-15t \end{cases}}\)
teraz tylko uporządkować i mamy
egin{cases} x=6+10v-15t\ y=18t-12v-7\z=v\u=t end{cases}
Rzędy macierzy x.x
Bardzo dziękuje za rozwiązanie, ale mam pytanko : Te rzędy równają się 2... Ale gdzie to widać? :B Właśnie głównie o to mi chodzi, skąd wiadomo, że rzA = 2 o rzA|b = 2. To widać jakoś na macierzy czy jak? Sorki za takie pytanie ;p
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Rzędy macierzy x.x
quan pisze:Bardzo dziękuje za rozwiązanie, ale mam pytanko : Te rzędy równają się 2... Ale gdzie to widać? :B Właśnie głównie o to mi chodzi, skąd wiadomo, że rzA = 2 o rzA|b = 2. To widać jakoś na macierzy czy jak? Sorki za takie pytanie ;p
po zastosowaniu przekształcen elementarnych nasza macierz ma wygląd
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& \frac{2}{3} &-2&3 \left| \frac{4}{3} \\0&0&0&0 \left|0 \\0& \frac{1}{3} &4&-6 \left|- \frac{7}{3} \end{bmatrix}}\)
jezeli pominiemy wiersz 2 wówczas otzrymamy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& \frac{2}{3} &-2&3 \left| \frac{4}{3} \\0& \frac{1}{3} &4&-6 \left|- \frac{7}{3} \end{bmatrix}}\) teraz widać,że macierz głowna i macierz uzupełniona jest rzędu 2
gdyby natomiast po przekształceniach wiersz 2 w naszej macierzy miał wygląd
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& \frac{2}{3} &-2&3 \left| \frac{4}{3} \\0&0&0&0 \left|2 \\0& \frac{1}{3} &4&-6 \left|- \frac{7}{3} \end{bmatrix}}\)
wówczas macierz główna jest 2 rzedu natomiast uzupełniona 3 rzędu i wtedy układ byłby sprzeczny