Macierz odwzorowania

[mateus]

Niech \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&0\\2&1\\0&2\end{bmatrix}}\)
będzie macierzą odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f: V\rightarrow W}\) w bazach\(\displaystyle{ B_{1}=(v_{1}, v_{2}), B_{2}=(w_{1}, w_{2}, w_{3}}\) przestrzeni wektorowych V i W nad ciałem (R). Wyznaczyć macierz tego odwzorowania w bazach \(\displaystyle{ B^{'}_{1}=(3v_{1} + v_{2}, v_{1}-v_{2});
B^{'}_{2}=(2w_{1} -w_{3},4w_{2}, w_{1}-w_{3})}\)

Proszę o rozwiązanie tego zadania, bo nie wiem jak do niego podejść. Poproszę również o jakieś dobre źródła do nauki algebry, bo jak na razie to te wszystkie pojęcia są dla mnie mocno abstrakcyjne.

[Pendulum]

Mógłby ktoś przedstawić rozwiązanie tego zadania? Ewentualnie od czego zacząć?

[Marmat]

Współczynniki macierzy przekształcenia liniowego A ustala się w następujący sposób:
pierwsza kolumna powstaje poprzez zapis wektora \(\displaystyle{ f(v_1)}\)
w bazie
\(\displaystyle{ w_1, w_2, w_3: \\
f(v_1)=3w_1+2w_2+0w_3}\)
druga kolumna tak samo dla
\(\displaystyle{ f(v_2)\\
f(v_2)=0w_1+1w_2+2w_3}\)
Chodzi o to, aby znaleźć macierz tego przekształcenia w bazach:
\(\displaystyle{ v_1'=3v_1+v_2, \ \ v_2'=v_1-v_2 \\
w_1'=2w_1-w_3, \ w_2'=4w_2, \ w_3'=w_1-w_3}\)
Znajdujemy macierz odwzorowania identycznościowego z V na V w bazach: \(\displaystyle{ B_1' i B_1}\)
\(\displaystyle{ v_1'=3v_1+v_2,}\)pierwsza kolumna to: 3 i 1 analogicznie druga:
\(\displaystyle{ v_2'=v_1-v_2,}\)1 i -1
Macierz \(\displaystyle{ P=\begin{bmatrix} 3&1\\1&-1\end{bmatrix}}\)
Następnie macierz odwzorowania identycznościowego z W na W w bazach: \(\displaystyle{ B_2' i B_2}\)
\(\displaystyle{ Q=\begin{bmatrix} 2&0&1\\0&4&0\\-1&0&-1\end{bmatrix}}\)
Znajduję macierz odwrotną :
\(\displaystyle{ Q^{-1}=\begin{bmatrix} 1&0&1\\0&0,25&0\\-1&0&-2\end{bmatrix}}\)
Szukana macierz odwzorowania to:
\(\displaystyle{ R=Q^{-1} \cdot A \cdot P}\)
\(\displaystyle{ R=\begin{bmatrix} 11&1\\1,75&0,25\\-13&1\end{bmatrix}}\)
Należy wziąć wektor o współrzędnych w bazie B_1', przejść na bazę B_1, później przez F otrzymasz współrzędne obrazu w bazie B_2 i przejść na bazę B_2'.
Pozdrawiam.