wartości własne i wektory własne macierzy

[Anioosiaaa]

Wyznaczyć wartości własne i wektory własne.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&2&0\\-1&-1&-1\end{array}\right]}\)
ta macierz powstała w odwzorowania \(\displaystyle{ T(x _{1},x _{2},x _{3})= (x _{1},2x _{1}+2x _{2},-x_{1} -x_{2} -x_{3} )}\)

I teraz wyliczyłam wartości własne:
\(\displaystyle{ \lambda _{1} =1, \lambda _{2} =-1, \lambda _{3} =2}\)

no i teraz mam problem z wyliczeniem wektora własnego dla \(\displaystyle{ \lambda=-1}\)
bo macierz wychodzi taka:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&3&1\\0&0&0\end{array}\right]}\)

jak z tego wyznaczyć wektor własny?

[PrzeChMatematyk]

Niech
\(\displaystyle{ V_{1}=[ v_{1} ,v _{2} ,v _{3} ]}\) bedzie wektorem wlasnym dla pierwszej wartosciwlasnej(-1)
no i mnozymy macierz przez ten wektorek jak to zwykle liczymy wektory wlasne i mamy uklad równan:
\(\displaystyle{ 2v_{1}+v_{2}+v_{3}=0 \\ 3v_{1}+3v_{2}+v_{3}=0}\)
wystarczy rozwiązać...czyli:
na przykład:

z pierwszego wyznaczamy\(\displaystyle{ v_{2}=-2v_{1}-v_{3}}\)
wstawiamy do drugiego i dostajemy że:
\(\displaystyle{ v_{1}=- \frac{2}{3}v_{3}}\)
wstawiamy wynik do pierwszego i dostajemy że:
\(\displaystyle{ v_{2}= \frac{1}{3}v_{3}}\)
co z \(\displaystyle{ v_{3}}\) ?? a no \(\displaystyle{ v_{3}}\) jest dowolne czyli
\(\displaystyle{ v_{3}=r \ \ \ gdzie \ \ r \in R}\)
czyli:
\(\displaystyle{ V_{1}=[ -\frac{2}{3}r, \frac{1}{3}r,r ]}\)
Pozdrawiam.

[horrorschau]

dlaczego wyszla taka macierz A:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&3&1\\0&0&0\end{array}\right]}\)

[Nakahed90]

Niech
\(\displaystyle{ V_{1}=[ v_{1} ,v _{2} ,v _{3} ]}\) bedzie wektorem wlasnym dla pierwszej wartosciwlasnej(-1)
no i mnozymy macierz przez ten wektorek jak to zwykle liczymy wektory wlasne i mamy uklad równan:
\(\displaystyle{ 2v_{1}+v_{2}+v_{3}=0 \\ 3v_{1}+3v_{2}+v_{3}=0}\)
wystarczy rozwiązać...czyli:
na przykład:

z pierwszego wyznaczamy\(\displaystyle{ v_{2}=-2v_{1}-v_{3}}\)
wstawiamy do drugiego i dostajemy że:
\(\displaystyle{ v_{1}=- \frac{2}{3}v_{3}}\)
wstawiamy wynik do pierwszego i dostajemy że:
\(\displaystyle{ v_{2}= \frac{1}{3}v_{3}}\)
co z \(\displaystyle{ v_{3}}\) ?? a no \(\displaystyle{ v_{3}}\) jest dowolne czyli
\(\displaystyle{ v_{3}=r \ \ \ gdzie \ \ r \in R}\)
czyli:
\(\displaystyle{ V_{1}=[ -\frac{2}{3}r, \frac{1}{3}r,r ]}\)
Pozdrawiam.

\(\displaystyle{ r\in R-\{\phi\}}\)

-- 31 stycznia 2010, 11:41 --

dlaczego wyszla taka macierz A:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&3&1\\0&0&0\end{array}\right]}\)

Bo aby policzyć wektory własne dla lambda musisz policzyć macierz \(\displaystyle{ [A-I\cdot \lambda]}\)

[horrorschau]

no właśnie,wieć to bedzie macierz A - macierz w ktorej na przekątnej bedzie -1 wiec dlaczego np ostatni caly wiersz sei wyzerowal-- 31 stycznia 2010, 11:49 --Mogłby mi ktos to wytllumaczyc???

[BettyBoo]

dlaczego wyszla taka macierz A:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&3&1\\0&0&0\end{array}\right]}\)

Dlatego, że Anioosiaaa się pomyliła

Macierz jest zupełnie inna, mianowicie

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\2&3&0\\-1&-1&0\end{array}\right]}\)

Oczywiście sposób postępowania z ta macierzą jest analogiczny do tego, co wyżej, tylko inny wynik wyjdzie.

Pozdrawiam.

[sitar05]

a dla tej prawidłowej macierzy dla wartosci wlasnej -1 jaki bedzie wektor? mozna prosic zeby ktos to rozwiazał?

[BettyBoo]

Z pierwszego równania mamy \(\displaystyle{ v_1=0}\), a wtedy z drugiego \(\displaystyle{ v_2=0}\), zatem wektory własne związane z wartością własną \(\displaystyle{ -1}\) są postaci \(\displaystyle{ [0,0,a],\ a\in\mathbb{R}}\)

Pozdrawiam.

[sitar05]

czyli zawsze kiedy w jednej kolumnie/wierszu macierzy sa same zera to odpowiednio ta częsc wektora bedzie sie rownała a in R ?

[BettyBoo]

W wierszu nie, w kolumnie tak. Ale w ogóle po co zgadywać? To nie jest żadna tajemna wiedza, po prostu trzeba normalnie rozwiązać układ równań.

Pozdrawiam.

[Nakahed90]

Z pierwszego równania mamy \(\displaystyle{ v_1=0}\), a wtedy z drugiego \(\displaystyle{ v_2=0}\), zatem wektory własne związane z wartością własną \(\displaystyle{ -1}\) są postaci \(\displaystyle{ [0,0,a],\ a\in\mathbb{R}}\)

Pozdrawiam.

\(\displaystyle{ a\in R-\{0\}}\)

[BettyBoo]

Kwestia umowy. Wektor zerowy jest wektorem własnym, chociaż niektórzy umawiają się, że nie jest - ale wtedy do przestrzeni własnej trzeba ten wektor dołączać, co jest mało naturalne.

Pozdrawiam.