Tw. Jordana

[Zordon]

Uzasadnij korzystając z tw. Jordana, że jeśli \(\displaystyle{ M^{100}=0}\) to \(\displaystyle{ M^2=0}\). \(\displaystyle{ M \in M_{2x2}(C)}\)

Tw. Jordana było podane w postaci: każdą macierz 2x2 o wyrazach zespolonych można zapisać w postaci: \(\displaystyle{ PDP^{-1}}\) gzie D jest diagonalna bądź w postaci Jordana.

Proszę o pomoc.

[max]

Wyobraź sobie kwadratową macierz w postaci Jordana, która podniesiona do pewnej potęgi daje zero...

[xiikzodz]

Jesli \(\displaystyle{ M^{100}=0}\) to wartosci wlasne macierzy \(\displaystyle{ M}\) sa rowne \(\displaystyle{ 0}\), co wynika z tw. Jordana - po sprowadzeniu \(\displaystyle{ M}\) do postaci diagonalnej/Jordana i podniesieniu do potegi \(\displaystyle{ 100}\) na przekatnej beda \(\displaystyle{ 100}\)-ne potegi wartosci wlasnych macierzy \(\displaystyle{ M}\).

Skoro tak, to macierz \(\displaystyle{ M}\) po sprowadzeniu do postaci diagonalnej/Jordana, czyli \(\displaystyle{ TMT^{-1}}\) ma co najwyzej jeden niezerowy element, prawy gorny rog, czyli \(\displaystyle{ (TMT^{-1})^2=0}\) skad wynika \(\displaystyle{ M^2=0}\).

[Zordon]

Jesli \(\displaystyle{ M^{100}=0}\) to wartosci wlasne macierzy \(\displaystyle{ M}\) sa rowne \(\displaystyle{ 0}\), co wynika z tw. Jordana - po sprowadzeniu \(\displaystyle{ M}\) do postaci diagonalnej/Jordana i podniesieniu do potegi \(\displaystyle{ 100}\) na przekatnej beda \(\displaystyle{ 100}\)-ne potegi wartosci wlasnych macierzy \(\displaystyle{ M}\).

Hmm, dlaczego wynika z tego już, że wartości własne będą 0?

Teraz mysle, ze mozna skorzystac z tego, ze jesli \(\displaystyle{ M=PDP^{-1}}\) to M ma takie same wartosci wlasne co D. Jest jakiś prostszy sposób?

[max]

A jakie liczby zespolone podniesione do 100 potęgi dają 0?:)
Do tej części rozwiązania nie trzeba nawet tw. Jordana. Jeśli \(\displaystyle{ \lambda}\) - wartość własna \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ v}\) - wektor własny jej odpowiadający, to \(\displaystyle{ M^{n}v = M^{n-1}\lambda v = \lambda M^{n-1}v = \lambda^{n}v}\)
i teraz jeśli wstawimy \(\displaystyle{ n = 100}\) to po lewej mamy 0, a po prawej niezerowy wektor razy \(\displaystyle{ \lambda^{100}}\) czyli skalar ten musi być równy 0, co daje co trzeba.