Muszę zbadać dla jakiej wartości rzeczywistego parametru \(\displaystyle{ m}\) podany układ równań nie jest oznaczony.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+mz=2 \\ -y+z+t=m \\ 2x+my-mz-t=-m \\mx+2y-2z+t=1 \end{cases}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&m&0&|&2\\-1&1&0&1&|&1\\2&m&-m&-1&|&-1\\m&2&-2&1&|&1\end{bmatrix}}\)
Proszę o rozwiązanie tego zadania, bardzo mi na tym zależy. Pozdrawiam.
Macierz
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&m&0&|&2\\-1&1&0&1&|&1\\2&m&-m&-1&|&-1\\m&2&-2&1&|&1\end{bmatrix}-(1)-\begin{bmatrix} 1&1&0&-1&|&1\\0&-1&m&2&|&2\\-1&m&-m&2&|&-1\\1&2&-2&m&|&1\end{bmatrix}-(2)-}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&0&-1&|&1\\0&-1&m&2&|&2\\0&1+m&-m&1&|&0\\0&1&-2&1+m&|&0\end{bmatrix}-(3)-}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&0&-1&|&1\\0&-1&m&2&|&2\\0&0&m^2&2m+3&|&2m+2\\0&0&m-2&3+m&|&3\end{bmatrix}-(4)-\begin{bmatrix} 1&1&0&-1&|&1\\0&-1&m&2&|&2\\0&0&m^2&2m+3&|&2m+2\\0&0&0&3+m-\frac{(2m+3)(m-2}{m^2}&|&3-\frac{(2m+2)(m-2)}{m^2}\end{bmatrix}}\)
(1) - zamiana kolumn I z IV i wierszy I z II, (2) -w.III+w.I, w.iV-w.I, (3) w.III+w.II\(\displaystyle{ \cdot (m+1)}\), w.IV+w.II, (4)- w.IV+w.III\(\displaystyle{ \cdot \frac{-m+2}{m^2}, \ (m \neq 0).}\)
Podstawiając m = 0 do macierzy po 3 kroku i zamieniając w niej wierszIII z IV widać, że układ jest oznaczony, więc zastrzeżenie \(\displaystyle{ m \neq 0}\) nie ma wpływu na rozwiązanie,którym są pierwiastki równania
\(\displaystyle{ 3+m-\frac{(2m+3)(m-2}{m^2}=3-\frac{(2m+2)(m-2)}{m^2}.}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&0&-1&|&1\\0&-1&m&2&|&2\\0&0&m^2&2m+3&|&2m+2\\0&0&m-2&3+m&|&3\end{bmatrix}-(4)-\begin{bmatrix} 1&1&0&-1&|&1\\0&-1&m&2&|&2\\0&0&m^2&2m+3&|&2m+2\\0&0&0&3+m-\frac{(2m+3)(m-2}{m^2}&|&3-\frac{(2m+2)(m-2)}{m^2}\end{bmatrix}}\)
(1) - zamiana kolumn I z IV i wierszy I z II, (2) -w.III+w.I, w.iV-w.I, (3) w.III+w.II\(\displaystyle{ \cdot (m+1)}\), w.IV+w.II, (4)- w.IV+w.III\(\displaystyle{ \cdot \frac{-m+2}{m^2}, \ (m \neq 0).}\)
Podstawiając m = 0 do macierzy po 3 kroku i zamieniając w niej wierszIII z IV widać, że układ jest oznaczony, więc zastrzeżenie \(\displaystyle{ m \neq 0}\) nie ma wpływu na rozwiązanie,którym są pierwiastki równania
\(\displaystyle{ 3+m-\frac{(2m+3)(m-2}{m^2}=3-\frac{(2m+2)(m-2)}{m^2}.}\)