Przejrzałem parę postów i od zera doszedłem do pewnego stopnia i nie wiem co dalej, bo wyjaśnienia nie znalazłem. Otóż mam macierz:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{lcr}2&-1&0\\0&-3&0\\1&1&3\end{array}\right]}\)
Przeczytałem że muszę obliczyć \(\displaystyle{ det \left(A - \lambda\cdot I \right)}\) więc liczę:
\(\displaystyle{ det \left( \left[\begin{array}{ccc}2-\lambda &-1&0\\0&-3-\lambda&0\\1&1&3-\lambda\end{array}\right] \right)}\)
z rozwinięcia Laplace'a wzg. 3 kolumny:
\(\displaystyle{ (-1) ^{3+3}\cdot\left(3-\lambda\right)\cdot\left|\begin{array}{lr}2-\lambda&-1\\0&-3-\lambda\end{array}\right| = \left(3-\lambda\right)\cdot\left(2-\lambda\right)\cdot\left(-3-\lambda\right)}\)
przyrównuje to do zera i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \lambda _{1} = 3 \vee \lambda_{2} = -3 \vee \lambda_{3} = 2}\)
Policzyłem macierze dla poszczególnych wartości \(\displaystyle{ \lambda}\) i otrzymałem dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&-1&0\\0&-3&0\\1&1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{2}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&-1&0\\0&0&0\\1&1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{3}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&-1&0\\0&-5&0\\1&1&1\end{array}\right]}\)
Co mam napisać przed otrzymanymi macierzami aby je do czegoś przyporządkować i formalnie matematycznie było to przyporządkowanie poprawne. I czy ma jakieś znacznie, że gdzieniegdzie powstały 0'rowe wiersze/kolumny?
I co zrobić dalej aby otrzymać te wektory własne?;>
Wektory własne
Wektory własne
Policzyłem macierze dla poszczególnych wartości \(\displaystyle{ \lambda}\) i otrzymałem dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&-1&0\\0&-3&0\\1&1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{2}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&-1&0\\0&0&0\\1&1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{3}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&-1&0\\0&-5&0\\1&1&1\end{array}\right]}\)
wez sobie na przyklad ta pierwszą:
wyznaczasz sobie rownania:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&-1&0\\0&-3&0\\1&1&0\end{array}\right]* \left[\begin{array}{ccc}x1\\x2\\x3\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
Bo:
\(\displaystyle{ (A - \lambda_{1}) * \vec{x} = \vec{0}}\)
Teraz bierzesz pierwsze dwa z układu rownań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}-x1 -x2 + 0x3 = 0\\0x1 - 2x2 + 0x3 = 0\\x1 + x2 + 0x3 = 0\end{cases}}\)
a poniewaz |A| = 0
to nie jest spełnione zalozenie twierdzenia Cramera czyli trzeba wyznaczyc rzad macierzy z czego innego np. metoda operacji elementarnych.
Z tego powinno wyjsc, że układ jest sprzeczny albo ma nieskonczenie wiele rozwiazan zaleznych od 3 parametrow albo ma dokladnie jedno rozw.
potem z układu równoważnego:
\(\displaystyle{ \begin{cases}-x1 -x2= 0\\0x1 - 2x2 = 0\end{cases}}\)
wyznaczasz x1 x2 (x3 nalezy do R) i wyjda wektory niezalezne:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\vec{x1}\\\vec{x2}\\\vec{x3}\end{array}\right]}\)
...przynajmniej tak to sie u nas rozwiazuje.
A tutaj masz to samo tylko innaczej opisane btw. OPCJA SZUKAJ.
https://matematyka.pl/60990.htm