Wektor własny, postać diagonalna

[Spheros]

Witam. Mam taki problem ze schamatem rozwiązania.
Od początku:

Mamy macierz:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&3&0\\3&-2&-1\\0&-1&1\end{array}\right]}\)

Obliczam:
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=det(\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&3&0\\3&-2-\lambda&-1\\0&-1&1-\lambda\end{array}\right])=-\lambda^3+12\lambda-12}\)

Z czego otrzymuję wartości własne:
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=-4}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{2}=3}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{3}=1}\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=-4}\) aby policzyć wektory własne.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&3&0\\3&2&-1\\0&-1&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right]=0}\)

I czy teraz ktoś mógłby mi łopatologicznie powiedzieć jak się tworzy wektor własny?

//edit
Prosilbym o potwierdzenie czy dobrze robię. Z powyższej macierzy, tworzę układ równań z którego mi wynika, że
\(\displaystyle{ x_{1}=-3/5 x_{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=1/5x_{2}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}x_{1}=-3/5 x_{2}\\x_{2}\\x_{3}=1/5x_{2}\end{array}\right]=x_{2}\left[\begin{array}{ccc}-3/5 \\1\\1/5\end{array}\right]=\frac{5}{\sqrt(35)}\left[\begin{array}{ccc}-3/5 \\1\\1/5\end{array}\right]}\)


Analogicznie postępuję potem z \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\) i \(\displaystyle{ \lambda_{3}}\).

Następnie w poleceniu mam napisane, aby sprowadzić do wszystko do postaci diagonalnej poprzez transformację podobieństwa. Jeśli ktoś mógłby pomóc, będę wdzięczny.

[WALDI1988]

a skad Ci sie wzieło za to \(\displaystyle{ x_{2}}\) taki ułamek ?? Skąd go wyliczylęs i czy dobry masz schemat ? prosze o jakiekolwiek rady bo wlasnie mam ten sam problem

[Spheros]

bo za x2 się wsadza długość tego wektora

[bodzio85]

A - dana macierz.
B - macierz diagonalna, na diagonali wartości własne
P - macierz wektorów własnych w tej samej kolejności co wartości własne w macierzy B

\(\displaystyle{ A = P B P ^{-1}}\)
po przekształceniu
\(\displaystyle{ B = P ^{-1} A P}\)

ps. za x2 wstawiasz dowolną liczbę

[maciek2489]

A skąd wzięły się 3 poszczególne wartości lambda z pierwszego posta? Jak je obliczyć?
Proszę o pomoc