\(\displaystyle{ U={x R^{5}: x_{1} + x_{3} + x_{4}=0, 2x_{1} + 2x_{2} + x_{5} = 0}.}\)
a) Pokazać, ze U jest podprzestrzenią liniowa \(\displaystyle{ R^{5}}\).b) Podać przykładowa bazę i wymiar podprzestrzeni U.
2) Nie rozwiązując poniższego układy równań liniowych określić liczbę rozwiązań oraz liczbę parametrów, od których zależny rozwiazanie
\(\displaystyle{ \begin{cases} 6x - 3y + 3z + 3t = 3 \\ 4x + 2y + z = 1\\ -2x + y - z - t = -1 \end{cases}}\)
3) Niech U będzie przestrzenią liniowa a układ wektorów \(\displaystyle{ u _{1}}\), \(\displaystyle{ u _{2}}\), \(\displaystyle{ u_{3}}\), \(\displaystyle{ u_{4}}\) - baza tej przestrzeni.a) Niech \(\displaystyle{ v_{1}=u_{1}+u_{2}, v_{2}=u_{2}+u_{3}, v_{3}=u_{3}+u_{4}, v_{4}=u_{4}+u_{1}.}\) Sprawdzić czy układ wektorów \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}\) jest liniowo zależny.
b) Niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni U w U takim, ze \(\displaystyle{ f(u_{k}) = v_{k}}\) dla k = 1,2,3,4. Podać macierz tego przekształcenia w bazie \(\displaystyle{ u_{1}, u_{2, u_{3}, u_{4}.}\)
4) Niech
\(\displaystyle{ A = ft[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&1&-2\\-2&0&-1 \end{array}\right]}\)
a) Wyznaczyć wektor własny (lub liniowo niezależne wektory własne - w zależności od sytuacji) odpowiadające wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda = 1.}\) Jaki jest wymiar podprzestrzeni własnej odpowiadającej wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=1}\) macierzy A?b) Znaleźć pozostałe wartości własne macierzy A.
c) Czy macierz A jest diagonalizowalna? Odpowiedz uzasadnij.
