Baza i wymiar przestrzeni liniowej.

[myky]

Witam. Czy ktoś mógłby pomoc mi w rozwiązaniu tych zadań?

1)
Niech \(\displaystyle{ P_{2}}\) będzie zbiorem wszystkich wielomianów rzeczywistych stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\). Czy następujące wielomiany są baza przestrzeni \(\displaystyle{ P_{2} :
1 + x + x ^{2}; x + 1}\).


2)
Okres wymiar i bazę podprzestrzeni wszystkich wielomianów \(\displaystyle{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}\) stopnia \(\displaystyle{ \le 3}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ a_{0}=0}\)

3)
Wyraz wektor [1,1] jako liniowa kombinacje wektorów:
\(\displaystyle{ w_{1}=}\)[1,-1], \(\displaystyle{ w_{2}}\)=[3,0],\(\displaystyle{ w_{3}}\)=[2,1] na dwa rożne sposoby. Dlaczego stad wynika, ze wektory \(\displaystyle{ w_{1},w_{2},w_{3}}\) nie są baza.

Z góry dzięki za pomoc:)

[Crizz]

1.) Gdyby dane wielomiany były bazą przestrzeni, to każdy wielomian stopnia co najwyżej drugiego dawałby się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a(1+x+x^{2})+b(x+1)=ax^{2}+(a+b)x+(a+b)}\). Sprzeczność, bo nie można w tej postaci przedstawić np. \(\displaystyle{ x^{2}+2x+1}\).

2.) Można utożsamiać wielomian \(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\) z wektorem \(\displaystyle{ [a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}]}\). Skoro wiemy, że \(\displaystyle{ a_{0}=0}\), to łatwo zrozumieć, że wymiar przestrzeni jest równy 3, a bazą tej przestrzeni będą np. \(\displaystyle{ x^{3},x^{2},x}\)

[ Dodano: 10 Stycznia 2009, 12:10 ]
3.)
\(\displaystyle{ -2w_{1}+\frac{5}{3}w_{2}-w_{3}}\)
\(\displaystyle{ -w_{1}+\frac{2}{3}w_{2}}\)

[ Dodano: 10 Stycznia 2009, 12:13 ]
Skoro da się wyrazić wektor \(\displaystyle{ [1,1,]}\) na dwa sposoby, to po odjęciu od siebie dwóch różnych liniowych kombinacji danych wektorów przedstawiających wektor \(\displaystyle{ [1,1]}\), otrzymujemy nietrywialne przedstawienie wektora \(\displaystyle{ [0,0]}\) w postaci liniowej kombinacji danych wektorów, co oznacza, że są one liniowo zależne i nie mogą tworzyć bazy.

[ghost33]

1) Dla \(\displaystyle{ a=1}\), \(\displaystyle{ b=0}\) można przedstawić ten trójmian w podanej przez Ciebie postaci

[Crizz]

Obawiam się, że \(\displaystyle{ x^{2}+x+1 \not\equiv x^{2}+2x+1}\)

[myky]

Wielkie dzieki za pomoc

Mam jeszcze jedno pytanie, czy baza moze skladac sie z wektora zerowego?

[Crizz]

Może, ale tylko baza przestrzeni jednowymiarowej \(\displaystyle{ span\{\vec{0}\}}\).

[ Dodano: 11 Stycznia 2009, 15:54 ]
W przestrzeniach o większej liczbie wymiarów żadna baza nie zawiera wektora zerowego, bo jest on liniowo zależny z każdym wektorem