Witam Mam ogromny (dla mnie ) problem, mianowicie nie umiem/pamietam jak wykonac takie zadanko:
Wykaz ze wektory tworza baze przestrzeni liniowej R^3
[1,0,0],[1,0,1],[1,1,1]
Jesli ktos moglby pomoc, bylbym bardzo wdzieczny
Pozdrawiam
Baza przestrzeni liniowej
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Baza przestrzeni liniowej
Wystarczy pokazać, ze są to wektory liniowo niezależne.
Dla dowolnych skalarów a,b,c zachodzi \(\displaystyle{ a[1,0,0]+b[1,0,1]+c[1,1,1]=[a+b+c,c,b+c]}\). Na to, żeby \(\displaystyle{ [a+b+c,c,b+c]}\) był wektorem zerowym, potrzeba i wystarcza, by \(\displaystyle{ a=0,b=0,c=0}\) (uzasadnienie: wiadomo, że jeśli \(\displaystyle{ [a+b+c,c,b+c]=\vec{0}}\), to \(\displaystyle{ c=0}\). Podstawiając \(\displaystyle{ c=0}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ [a+b,0,b]}\). Stąd \(\displaystyle{ b=0}\), otzymujemy po podstawieniu wektor \(\displaystyle{ [a,0,0]}\), zatem również \(\displaystyle{ a=0}\)). Skoro za pomocą liniowej kombinacji tych wektorów nie da się w nietrywialny sposób przedstawić wektora zerowego, to są one liniowo niezależne i ponieważ jest ich tyle, ile wynosi wymiar przestrzeni, to muszą tworzyc bazę tej przestrzeni.
Dla dowolnych skalarów a,b,c zachodzi \(\displaystyle{ a[1,0,0]+b[1,0,1]+c[1,1,1]=[a+b+c,c,b+c]}\). Na to, żeby \(\displaystyle{ [a+b+c,c,b+c]}\) był wektorem zerowym, potrzeba i wystarcza, by \(\displaystyle{ a=0,b=0,c=0}\) (uzasadnienie: wiadomo, że jeśli \(\displaystyle{ [a+b+c,c,b+c]=\vec{0}}\), to \(\displaystyle{ c=0}\). Podstawiając \(\displaystyle{ c=0}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ [a+b,0,b]}\). Stąd \(\displaystyle{ b=0}\), otzymujemy po podstawieniu wektor \(\displaystyle{ [a,0,0]}\), zatem również \(\displaystyle{ a=0}\)). Skoro za pomocą liniowej kombinacji tych wektorów nie da się w nietrywialny sposób przedstawić wektora zerowego, to są one liniowo niezależne i ponieważ jest ich tyle, ile wynosi wymiar przestrzeni, to muszą tworzyc bazę tej przestrzeni.
-
myky
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 24 lis 2008, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wroclaw
- Podziękował: 19 razy
Baza przestrzeni liniowej
O dzieki wielkie Duzo mi rozjasniles
A jeszcze jedno pytanie mniejwiecej zwiazane z tematem, czy baza np przestrzeni R^5 moga byc np 3 wektory?
A jeszcze jedno pytanie mniejwiecej zwiazane z tematem, czy baza np przestrzeni R^5 moga byc np 3 wektory?
-
Frey
- Użytkownik
- Posty: 3299
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Baza przestrzeni liniowej
Tutaj nie ma co sprawdzać, bo to redukujesz macierzą i wychodzi ci baza standardowa, widać to gołym okiem.
Baza to wektory liniowo niezależne i do tego rozpinające przestrzeń, choć fakt linowa niezależność jest ważna.
Co do pytania powyżej, to trzy wektory nie mogą rozpinać całej przestrzeni R^5, lecz oczywiście w przestrzeni R^5 może znajdować się jakaś baza rozpinająca tylko R^3.
Baza to wektory liniowo niezależne i do tego rozpinające przestrzeń, choć fakt linowa niezależność jest ważna.
Co do pytania powyżej, to trzy wektory nie mogą rozpinać całej przestrzeni R^5, lecz oczywiście w przestrzeni R^5 może znajdować się jakaś baza rozpinająca tylko R^3.