Prosze o pomoc w wyznaczeniu bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) utworzona przez wektory własne macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&-2\\1&2&1\\1&0&3\end{array}\right]}\)
wyznaczenie bazy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
wyznaczenie bazy
Liczymy wyznacznik:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-\lambda &0&-2\\1&2-\lambda &1\\1&0&3- \lambda \end{array}\right| = (1- \lambda ) (2- \lambda )^2}\)
skąd dostajemy dwie wartości własne, jeden i dwa.
Obliczamy teraz jakie wektory własne im odpowiadają:
\(\displaystyle{ \lambda =1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1 &0&-2\\1&1 &1\\1&0&2 \end{array}\right] ft[ \begin{array}{c}x\\ y \\ z \end{array}\right] = ft[ \begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0 \end{array}\right]}\)
Wyjdzie: \(\displaystyle{ (-2a,a,a) = a(-2,1,1)}\)
\(\displaystyle{ \lambda =2}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2 &0&-2\\1&0 &1\\1&0&1 \end{array}\right] ft[ \begin{array}{c}x\\ y \\ z \end{array}\right] = ft[ \begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0 \end{array}\right]}\)
Wyjdzie: \(\displaystyle{ (b,c,-b) = b(1,0,-1) + c(0,1,0)}\)
Stąd wektory własne \(\displaystyle{ (-2,1,1), (1,0,-1) , (0,1,0)}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ R^3}\).
Q.
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-\lambda &0&-2\\1&2-\lambda &1\\1&0&3- \lambda \end{array}\right| = (1- \lambda ) (2- \lambda )^2}\)
skąd dostajemy dwie wartości własne, jeden i dwa.
Obliczamy teraz jakie wektory własne im odpowiadają:
\(\displaystyle{ \lambda =1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1 &0&-2\\1&1 &1\\1&0&2 \end{array}\right] ft[ \begin{array}{c}x\\ y \\ z \end{array}\right] = ft[ \begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0 \end{array}\right]}\)
Wyjdzie: \(\displaystyle{ (-2a,a,a) = a(-2,1,1)}\)
\(\displaystyle{ \lambda =2}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2 &0&-2\\1&0 &1\\1&0&1 \end{array}\right] ft[ \begin{array}{c}x\\ y \\ z \end{array}\right] = ft[ \begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0 \end{array}\right]}\)
Wyjdzie: \(\displaystyle{ (b,c,-b) = b(1,0,-1) + c(0,1,0)}\)
Stąd wektory własne \(\displaystyle{ (-2,1,1), (1,0,-1) , (0,1,0)}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ R^3}\).
Q.