Oblicz obraz przekształcenia liniowego

[julietta_m_18]

\(\displaystyle{ Oblicz/obraz/przekształcenia/liniowego F:/}\)\(\displaystyle{ R^{4}}\) ---> \(\displaystyle{ R^{4}}\)
\(\displaystyle{ F(x,y,z,t)=(2x-y+3z-t, x+2y-z+3t, 3x+y+2z+2t, x-3y+4z-4t)}\)

[Qń]

Szkic rozwiązania:

1) Znajdujemy jądro przekształcenia, czyli:
\(\displaystyle{ \ker F = \{ (x,y,z,t) \ : \ F(x,y,z,t) = (0,0,0,0) \}}\)
Robimy to rozwiązując układ czterech równań, wyjdzie:
\(\displaystyle{ \left( -z-\frac{t}{5}, z-\frac{7t}{5}, z, t \right) =
z\left( -1, 1, 1, 0 \right) + t ft( -\frac{1}{5}, \frac{7}{5}, 0, 1 \right)}\)
czyli \(\displaystyle{ \ker F = lin \{ ft( -1, 1, 1, 0 \right) , ft( -\frac{1}{5}, \frac{7}{5}, 0, 1 \right) \}}\)

2) Znajdujemy dwa dowolne wektory nienależące do jądra i liniowo niezależne - najprościej wziąć \(\displaystyle{ (1,0,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0,0)}\), a następnie znajdujemy ich obrazy:
\(\displaystyle{ F(1,0,0,0) = (2,1,3,1) \\
F(0,1,0,0) = (-1,2,1,-3)}\)

3) Stwierdzamy, że otrzymane obrazy tych dwóch wektorów należą do obrazu przekształcenia oraz są liniowo niezależne, czyli w szczególności rozpinają przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ 2}\). Ponieważ jednocześnie wiemy, że obraz ma wymiar \(\displaystyle{ 2}\) (bo \(\displaystyle{ \dim Im F = 4 - \dim \ker F =2}\)), to znaczy że to co tamtych dwóch gości rozpinało to musi być cały obraz. A zatem są oni bazą obrazu, czyli:
\(\displaystyle{ Im F = lin \{ (2,1,3,1) , (-1,2,1,-3) \}}\)

Q.

[alamapsa]

a czy nie powinno wyjsc \(\displaystyle{ Ker(T) = {0}}\) ???
a obraz \(\displaystyle{ Im(T) = { (2,1,3,1), (-1,2,1,-3), (3, -1, 2,4), (-1,3,2,-4)}}\) ???

w jadrze uklad rozwiazywalam z wyznacznikow
W=180
Wx=0
wy=0
wz=0
wt=0

czyli uklad sie zerowal

x=y=z=t=0

[Tomek_Z]

Coś na pewno pokręciłaś, bo rząd macierzy jest równy 2. I apropo tego rzędu...

Qń czy możesz powiedzieć po co ta cała procedura? Przecież dużo łatwiej i szybciej jest zbadać rząd macierzy i dobrać dwa liniowo niezależne wektory z tejże macierzy...

[alamapsa]

a jaki jest zwiazek rzedu macierzy z dim Ker??
tam bylo jakies rownanie ale teraz nie moge go znalezc. moglbys przypomniec?

[Tomek_Z]

Rząd macierzy przekształcenia liniowego jest równy wymiarowy obrazu...

[alamapsa]

ok czyli np w zadaniu
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&0&2\\0&0&0\end{array}\right]}\)

lub

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&5\\2&1&3\\-3&1&-1\end{array}\right]}\)

mi wyszlo w 1 zadaniu
\(\displaystyle{ dim(A)=3 \\
dim(Im(A)=2 \\
ker(A)=1}\)
ale wlasnie nie potrafie podac tego jadra

a Im(A) ={\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1&0\end{array}\right]}\) , \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1&2\end{array}\right]}\)}