\(\displaystyle{ Oblicz/obraz/przekształcenia/liniowego F:/}\)\(\displaystyle{ R^{4}}\) ---> \(\displaystyle{ R^{4}}\)
\(\displaystyle{ F(x,y,z,t)=(2x-y+3z-t, x+2y-z+3t, 3x+y+2z+2t, x-3y+4z-4t)}\)
Oblicz obraz przekształcenia liniowego
-
- Użytkownik
- Posty: 97
- Rejestracja: 6 paź 2007, o 13:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wodzisław
- Podziękował: 14 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Oblicz obraz przekształcenia liniowego
Szkic rozwiązania:
1) Znajdujemy jądro przekształcenia, czyli:
\(\displaystyle{ \ker F = \{ (x,y,z,t) \ : \ F(x,y,z,t) = (0,0,0,0) \}}\)
Robimy to rozwiązując układ czterech równań, wyjdzie:
\(\displaystyle{ \left( -z-\frac{t}{5}, z-\frac{7t}{5}, z, t \right) =
z\left( -1, 1, 1, 0 \right) + t ft( -\frac{1}{5}, \frac{7}{5}, 0, 1 \right)}\)
czyli \(\displaystyle{ \ker F = lin \{ ft( -1, 1, 1, 0 \right) , ft( -\frac{1}{5}, \frac{7}{5}, 0, 1 \right) \}}\)
2) Znajdujemy dwa dowolne wektory nienależące do jądra i liniowo niezależne - najprościej wziąć \(\displaystyle{ (1,0,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0,0)}\), a następnie znajdujemy ich obrazy:
\(\displaystyle{ F(1,0,0,0) = (2,1,3,1) \\
F(0,1,0,0) = (-1,2,1,-3)}\)
3) Stwierdzamy, że otrzymane obrazy tych dwóch wektorów należą do obrazu przekształcenia oraz są liniowo niezależne, czyli w szczególności rozpinają przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ 2}\). Ponieważ jednocześnie wiemy, że obraz ma wymiar \(\displaystyle{ 2}\) (bo \(\displaystyle{ \dim Im F = 4 - \dim \ker F =2}\)), to znaczy że to co tamtych dwóch gości rozpinało to musi być cały obraz. A zatem są oni bazą obrazu, czyli:
\(\displaystyle{ Im F = lin \{ (2,1,3,1) , (-1,2,1,-3) \}}\)
Q.
1) Znajdujemy jądro przekształcenia, czyli:
\(\displaystyle{ \ker F = \{ (x,y,z,t) \ : \ F(x,y,z,t) = (0,0,0,0) \}}\)
Robimy to rozwiązując układ czterech równań, wyjdzie:
\(\displaystyle{ \left( -z-\frac{t}{5}, z-\frac{7t}{5}, z, t \right) =
z\left( -1, 1, 1, 0 \right) + t ft( -\frac{1}{5}, \frac{7}{5}, 0, 1 \right)}\)
czyli \(\displaystyle{ \ker F = lin \{ ft( -1, 1, 1, 0 \right) , ft( -\frac{1}{5}, \frac{7}{5}, 0, 1 \right) \}}\)
2) Znajdujemy dwa dowolne wektory nienależące do jądra i liniowo niezależne - najprościej wziąć \(\displaystyle{ (1,0,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0,0)}\), a następnie znajdujemy ich obrazy:
\(\displaystyle{ F(1,0,0,0) = (2,1,3,1) \\
F(0,1,0,0) = (-1,2,1,-3)}\)
3) Stwierdzamy, że otrzymane obrazy tych dwóch wektorów należą do obrazu przekształcenia oraz są liniowo niezależne, czyli w szczególności rozpinają przestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ 2}\). Ponieważ jednocześnie wiemy, że obraz ma wymiar \(\displaystyle{ 2}\) (bo \(\displaystyle{ \dim Im F = 4 - \dim \ker F =2}\)), to znaczy że to co tamtych dwóch gości rozpinało to musi być cały obraz. A zatem są oni bazą obrazu, czyli:
\(\displaystyle{ Im F = lin \{ (2,1,3,1) , (-1,2,1,-3) \}}\)
Q.
Oblicz obraz przekształcenia liniowego
a czy nie powinno wyjsc \(\displaystyle{ Ker(T) = {0}}\) ???
a obraz \(\displaystyle{ Im(T) = { (2,1,3,1), (-1,2,1,-3), (3, -1, 2,4), (-1,3,2,-4)}}\) ???
w jadrze uklad rozwiazywalam z wyznacznikow
W=180
Wx=0
wy=0
wz=0
wt=0
czyli uklad sie zerowal
x=y=z=t=0
a obraz \(\displaystyle{ Im(T) = { (2,1,3,1), (-1,2,1,-3), (3, -1, 2,4), (-1,3,2,-4)}}\) ???
w jadrze uklad rozwiazywalam z wyznacznikow
W=180
Wx=0
wy=0
wz=0
wt=0
czyli uklad sie zerowal
x=y=z=t=0
-
- Użytkownik
- Posty: 807
- Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 181 razy
Oblicz obraz przekształcenia liniowego
Coś na pewno pokręciłaś, bo rząd macierzy jest równy 2. I apropo tego rzędu...
Qń czy możesz powiedzieć po co ta cała procedura? Przecież dużo łatwiej i szybciej jest zbadać rząd macierzy i dobrać dwa liniowo niezależne wektory z tejże macierzy...
Qń czy możesz powiedzieć po co ta cała procedura? Przecież dużo łatwiej i szybciej jest zbadać rząd macierzy i dobrać dwa liniowo niezależne wektory z tejże macierzy...
Oblicz obraz przekształcenia liniowego
a jaki jest zwiazek rzedu macierzy z dim Ker??
tam bylo jakies rownanie ale teraz nie moge go znalezc. moglbys przypomniec?
tam bylo jakies rownanie ale teraz nie moge go znalezc. moglbys przypomniec?
Oblicz obraz przekształcenia liniowego
ok czyli np w zadaniu
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&0&2\\0&0&0\end{array}\right]}\)
lub
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&5\\2&1&3\\-3&1&-1\end{array}\right]}\)
mi wyszlo w 1 zadaniu
\(\displaystyle{ dim(A)=3 \\
dim(Im(A)=2 \\
ker(A)=1}\)
ale wlasnie nie potrafie podac tego jadra
a Im(A) ={\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1&0\end{array}\right]}\) , \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1&2\end{array}\right]}\)}
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&0&2\\0&0&0\end{array}\right]}\)
lub
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&5\\2&1&3\\-3&1&-1\end{array}\right]}\)
mi wyszlo w 1 zadaniu
\(\displaystyle{ dim(A)=3 \\
dim(Im(A)=2 \\
ker(A)=1}\)
ale wlasnie nie potrafie podac tego jadra
a Im(A) ={\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1&0\end{array}\right]}\) , \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1&2\end{array}\right]}\)}