Od kilku lat mam marzenie zrozumieć ten temat. Mimo kilku podejść rozumiem tylko podstawy jak obliczanie liczby klatek Jordana – z tzw. krotności geometrycznej wartości własnych – i może też to, jak obliczyć liczbę klatek rozmiaru co najmniej 2. Czarną magią pozostaje dla mnie, jak obliczyć konkretne rozmiary klatek, a znajdowanie bazy Jordana też nie jest dla mnie do końca jasne, tak jak wspominane czasem związki z wielomianem minimalnym.
Będę wdzięczny za polecenie jakichś źródeł po polsku lub po angielsku; z jednej strony panuje klęska urodzaju i np. na YouTube jest przeszło setka filmików na ten temat, ale z drugiej strony mam wrażenie, że mało kto umie to wyłożyć jasno, zaczynając od szczególnych przypadków i w miarę możliwości podając sens geometryczny.
Postać kanoniczna Jordana
-
3a174ad9764fefcb
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Postać kanoniczna Jordana
Moim zdaniem nie potrzebujesz do tego literatury, bo to dość prosta sprawa, przynajmniej w teorii. Od strony praktycznej, obliczenia mogą nie być miłe.
Zakładam, że jeśli masz dane przekształcenie liniowe \(L:V\to V\), gdzie \(V\) – przestrzeń skończenie wymiarowa, to potrafisz znaleźć bazę jądra i bazę obrazu. Stąd też wiesz też, że wymiar jądra i wymiar obrazu sumują się do wymiaru całej przestrzeni. Również warto wiedzieć, że jeśli wyznacznik macierzy jest równy zero, to jądro jest nietrywialne (a obraz nie jest całą przestrzenią).
Przyda się też taki fakt: bazę podprzestrzeni można uzupełnić do bazy przestrzeni, tzn. jeśli \(W\subseteq V\) są przestrzeniami liniowymi i jeśli \((b_1,\ldots,b_k)\) jest bazą \(W\), to istnieją wektory \(b_{k+1},\ldots,b_n\in V\) takie, że \((b_1,\ldots,b_n)\) jest bazą \(V\).
To wszystko plus jeszcze kilka pomniejszych faktów razem pozwala skonstruować bazę Jordana, o ile tylko potrafimy rozłożyć wielomian charakterystyczny na czynniki liniowe.
Zacznijmy od tego, że jeśli \(\lambda_1\) jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to wyznacznik macierzy przekształcenia \(L-\lambda_1\) jest równy zero, czyli obraz przekształcenia \(L-\lambda_1\) jest mniejszy niż cała przestrzeń (\((L-\lambda_1)V\subsetneq V\)). Możemy oznaczyć \(V_0=V\) oraz \(V_1=(L-\lambda_1)V\). Teraz możemy spojrzeć na przekształcenie \(L-\lambda_1\) obcięte do zbioru \(V_1\). Jeśli jądro tego przekształcenia jest nietrywialne (czyli \(V_1 \cap \mathrm{Ker} (L-\lambda_1)\ne\{0\}\)), to patrzymy jeszcze na następną przestrzeń \(V_2=(L-\lambda_1)V_1\subsetneq V_1\). W ten sposób konstruujemy ciąg \(V_0\supsetneq V_1\supsetneq V_2\supsetneq \ldots\), aż w końcu trafimy na takie \(V_k\), które ma trywialne jądro. Może to wyglądać tak jak na rysunku poniżej. (Rysunek obrazuje tylko, który zbiór zawiera się w którym. Nie próbuję na rysunku zobrazować, jak naprawdę wygląda kilkuwymiarowa przestrzeń liniowa.)
Konstrukcja (będąca jednocześnie dowodem twierdzenia Jordana), polega na tym, że najpierw znajdujemy bazę Jordana najmniejszej z tych przestrzeni (\(V_5\) na rysunku - tu działa założenie indukcyjne dowodu), a potem uzupełniamy ją kolejno do baz Jordana większych przestrzeni (\(V_4, V_3, V_2, V_1, V_0\)). Zachęcam do samodzielnego przemyślenia szczegółów. W razie potrzeby służę pomocą.
Zakładam, że jeśli masz dane przekształcenie liniowe \(L:V\to V\), gdzie \(V\) – przestrzeń skończenie wymiarowa, to potrafisz znaleźć bazę jądra i bazę obrazu. Stąd też wiesz też, że wymiar jądra i wymiar obrazu sumują się do wymiaru całej przestrzeni. Również warto wiedzieć, że jeśli wyznacznik macierzy jest równy zero, to jądro jest nietrywialne (a obraz nie jest całą przestrzenią).
Przyda się też taki fakt: bazę podprzestrzeni można uzupełnić do bazy przestrzeni, tzn. jeśli \(W\subseteq V\) są przestrzeniami liniowymi i jeśli \((b_1,\ldots,b_k)\) jest bazą \(W\), to istnieją wektory \(b_{k+1},\ldots,b_n\in V\) takie, że \((b_1,\ldots,b_n)\) jest bazą \(V\).
To wszystko plus jeszcze kilka pomniejszych faktów razem pozwala skonstruować bazę Jordana, o ile tylko potrafimy rozłożyć wielomian charakterystyczny na czynniki liniowe.
Zacznijmy od tego, że jeśli \(\lambda_1\) jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to wyznacznik macierzy przekształcenia \(L-\lambda_1\) jest równy zero, czyli obraz przekształcenia \(L-\lambda_1\) jest mniejszy niż cała przestrzeń (\((L-\lambda_1)V\subsetneq V\)). Możemy oznaczyć \(V_0=V\) oraz \(V_1=(L-\lambda_1)V\). Teraz możemy spojrzeć na przekształcenie \(L-\lambda_1\) obcięte do zbioru \(V_1\). Jeśli jądro tego przekształcenia jest nietrywialne (czyli \(V_1 \cap \mathrm{Ker} (L-\lambda_1)\ne\{0\}\)), to patrzymy jeszcze na następną przestrzeń \(V_2=(L-\lambda_1)V_1\subsetneq V_1\). W ten sposób konstruujemy ciąg \(V_0\supsetneq V_1\supsetneq V_2\supsetneq \ldots\), aż w końcu trafimy na takie \(V_k\), które ma trywialne jądro. Może to wyglądać tak jak na rysunku poniżej. (Rysunek obrazuje tylko, który zbiór zawiera się w którym. Nie próbuję na rysunku zobrazować, jak naprawdę wygląda kilkuwymiarowa przestrzeń liniowa.)
Re: Postać kanoniczna Jordana
I jak to odnieść do konkretu, np. do macierzy 4x4 – bo wtedy sama liczba klatek Jordana nie rozstrzyga o postaci? Te coraz węższe jądra odpowiadają jakoś poszczególnym klatkom albo ich elementom?
-
3a174ad9764fefcb
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Postać kanoniczna Jordana
Na podstawie wymiarów tych jąder (a więc również na podstawie wymiarów kolejnych obrazów) można powiedzieć, ile jest klatek poszczególnych rozmiarów. Wymiar całego jądra, to liczba wszystkich klatek o danej wartości własnej, lub inaczej mówiąc – liczba liniowo niezależnych wektorów własnych. Wymiar mniejszego jądra, tzn. \(V_1\cap\mathrm{Ker}(L-\lambda_1)\), jest równy liczbie klatek rozmiaru co najmniej dwa. W narysowanym przykładzie jądro się nie zmniejszyło w pierwszej iteracji, więc każda klatka będzie co najmniej rozmiaru dwa.
Żeby przejść do konkretów, doprecyzuję przykład. Ustalmy, że
\(\dim(V_0)=36\), (to dość duży przykład)
\(\dim(V_1)=27\),
\(\dim(V_2)=18\),
\(\dim(V_3)=12\),
\(\dim(V_4)=6\),
\(\dim(V_5)=4\).
Wtedy
\(\dim(\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=36-27=9\) - mamy \(9\) klatek dla wartości \(\lambda_1\),
\(\dim(V_1\cap\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=9\) - żadna z klatek nie jest jednoelementowa, niżej opiszę konstrukcję i będzie to jasne,
\(\dim(V_2\cap\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=6\) - jest \(6\) klatek rozmiaru co najmniej trzy, więc \(3\) spośród powyższych są dwuelementowe,
\(\dim(V_3\cap\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=6\) - żadna klatka nie jest dokładnie trzyelementowa,
\(\dim(V_4\cap\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=2\) - są \(4\) klatki czteroelementowe,
\(\dim(V_5\cap\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=0\) - dwie klatki pięcioelementowe, koniec.
Konstrukcję zaczynamy od najgłębszych warstw. Powiedzmy, że dla przestrzeni \(V_5\) znajdziemy jakąś bazę Jordana \((v_1, v_2, v_3, v_4)\).
W przestrzeni \(V_4\) mamy dwuwymiarowe jądro. Znajdźmy jakąkolwiek bazę tego jądra \((w_{41}, w_{42})\). Wektory z jądra są wektorami własnymi, więc tu na razie uzyskaliśmy dwie klatki Jordana rozmiaru \(1\). W kolejnych krokach będziemy te klatki przedłużać i dodamy następne. Mamy \(6\) wektorów w sześciowymiarowej przestrzeni \(V_4\): \(v_1, v_2, v_3, v_4, w_{41}, w_{42}\). Jeśli chcemy się upewnić, że jest to baza przestrzeni \(V_4\) możemy sprawdzić liniową niezależność. Jeśli
\(a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 + a_4v_4 + b_{41}w_{41} + b_{42}w_{42} = 0\),
to po przyłożeniu do tej równości przekształcenia \(L-\lambda_1\) dostaniemy:
\(a_1(L-\lambda_1)v_1 + a_2(L-\lambda_1)v_2 + a_3(L-\lambda_1)v_3 + a_4(L-\lambda_1)v_4 = 0\).
Przekształcenie jest nieosobliwe na przestrzeni \(V_5\), więc wektory \((L-\lambda_1)v_1,\ldots,(L-\lambda_1)v_4\) są bazą \(V_5\), więc z powyższej równości mamy \(a_1=a_2=a_3=a_4=0\). Podstawiając to do wcześniejszej równości mamy:
\(b_{41}w_{41} + b_{42}w_{42} = 0\),
więc \(b_{41} = b_{42} = 0\).
W następnym kroku otrzymaną sześcioelementową bazę \(V_4\) chcemy uzupełnić do dwunastoelementowej bazy przestrzeni \(V_3\). Mamy tu do zrobienia dwie rzeczy: 1) dodać kolejne wektory własne, 2) przedłużyć klatki Jordana z poprzedniego kroku.
1) Jądro jest sześciowymiarowe - uzupełnijmy bazę poprzedniego jądra \((w_{41}, w_{42})\) o nowe wektory: \(w_{33}, w_{34}, w_{35}, w_{36}\).
2) Znajdźmy takie wektory \(w_{31}, w_{32}\), że \((L-\lambda_1)w_{31}=w_{41}\) i \((L-\lambda_1)w_{32}=w_{42}\).
Mamy więc już \(8\) wektorów Jordana dla wartości własnej \(\lambda_1\):
\(w_{31}\mapsto w_{41}\mapsto0\)
\(w_{32}\mapsto w_{42}\mapsto0\)
\(w_{33}\mapsto0\)
\(w_{34}\mapsto0\)
\(w_{35}\mapsto0\)
\(w_{36}\mapsto0\)
Jeśli chcemy sprawdzić liniową niezależność, to robimy to podobnie jak poprzednio:
\(a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 + a_4v_4 + b_{41}w_{41} + b_{42}w_{42} + b_{31}w_{31} + b_{32}w_{32} + b_{33}w_{33} + b_{34}w_{34} + b_{35}w_{35} + b_{36}w_{36} = 0\)
Po przyłożeniu \((L-\lambda_1)\) mamy:
\(a_1(L-\lambda_1)v_1 + a_2(L-\lambda_1)v_2 + a_3(L-\lambda_1)v_3 + a_4(L-\lambda_1)v_4 + b_{31}w_{41} + b_{32}w_{42}= 0\).
Stąd \(a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = b_{31} = b_{32} = 0\). Po podstawieniu do poprzedniej równości mamy:
\(b_{41}w_{41} + b_{42}w_{42} + b_{33}w_{33} + b_{34}w_{34} + b_{35}w_{35} + b_{36}w_{36} = 0\)
i dalej z liniowej niezależności dla bazy jądra otrzymujemy \(b_{41} = b_{42} = b_{33} = b_{34} = b_{35} = b_{36} = 0\).
W kolejnym kroku dla przestrzeni \(V_2\) akurat w naszym przykładzie jądro się nie zwiększyło, więc tylko dodajemy wektory \(w_{21}, w_{22}, w_{23}, w_{24}, w_{25}, w_{26}\), które w przekształceniu \(L-\lambda_1\) przechodzą na uzyskane wcześniej: \(w_{31}, w_{32}, w_{33}, w_{34}, w_{35}, w_{36}\). Łącznie nasz zbiór wektorów Jordana dla wartości \(\lambda_1\) liczy już \(14\) wektorów:
\(w_{21}\mapsto w_{31}\mapsto w_{41}\mapsto0\)
\(w_{22}\mapsto w_{32}\mapsto w_{42}\mapsto0\)
\(w_{23}\mapsto w_{33}\mapsto0\)
\(w_{24}\mapsto w_{34}\mapsto0\)
\(w_{25}\mapsto w_{35}\mapsto0\)
\(w_{26}\mapsto w_{36}\mapsto0\)
Każdy z tych sześciu strumieni odpowiada jednej klatce Jordana.
Żeby uzupełnić bazę dla przestrzeni \(V_1\), dodajemy kolejne wektory \(w_{11}, \ldots, w_{19}\). Sześć z nich przedłuża otrzymane już strumienie, a trzy należą do jądra.
\(w_{11}\mapsto w_{21}\mapsto w_{31}\mapsto w_{41}\mapsto0\)
\(w_{12}\mapsto w_{22}\mapsto w_{32}\mapsto w_{42}\mapsto0\)
\(w_{13}\mapsto w_{23}\mapsto w_{33}\mapsto0\)
\(w_{14}\mapsto w_{24}\mapsto w_{34}\mapsto0\)
\(w_{15}\mapsto w_{25}\mapsto w_{35}\mapsto0\)
\(w_{16}\mapsto w_{26}\mapsto w_{36}\mapsto0\)
\(w_{17}\mapsto0\)
\(w_{18}\mapsto0\)
\(w_{19}\mapsto0\)
W ostatnim kroku dodajemy kolejne wektory, otrzymując:
\(w_{01}\mapsto w_{11}\mapsto w_{21}\mapsto w_{31}\mapsto w_{41}\mapsto0\)
\(w_{02}\mapsto w_{12}\mapsto w_{22}\mapsto w_{32}\mapsto w_{42}\mapsto0\)
\(w_{03}\mapsto w_{13}\mapsto w_{23}\mapsto w_{33}\mapsto0\)
\(w_{04}\mapsto w_{14}\mapsto w_{24}\mapsto w_{34}\mapsto0\)
\(w_{05}\mapsto w_{15}\mapsto w_{25}\mapsto w_{35}\mapsto0\)
\(w_{06}\mapsto w_{16}\mapsto w_{26}\mapsto w_{36}\mapsto0\)
\(w_{07}\mapsto w_{17}\mapsto0\)
\(w_{08}\mapsto w_{18}\mapsto0\)
\(w_{09}\mapsto w_{19}\mapsto0\)
Razem \(32\) wektory dla dziewięciu klatek wartości własnej \(\lambda_1\). Poszczególne wiersze powyżej odpowiadają kolejnym klatkom. Do tego \(4\) wektory dla pozostałych wartości własnych. Rysunek:
Żeby przejść do konkretów, doprecyzuję przykład. Ustalmy, że
\(\dim(V_0)=36\), (to dość duży przykład)
\(\dim(V_1)=27\),
\(\dim(V_2)=18\),
\(\dim(V_3)=12\),
\(\dim(V_4)=6\),
\(\dim(V_5)=4\).
Wtedy
\(\dim(\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=36-27=9\) - mamy \(9\) klatek dla wartości \(\lambda_1\),
\(\dim(V_1\cap\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=9\) - żadna z klatek nie jest jednoelementowa, niżej opiszę konstrukcję i będzie to jasne,
\(\dim(V_2\cap\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=6\) - jest \(6\) klatek rozmiaru co najmniej trzy, więc \(3\) spośród powyższych są dwuelementowe,
\(\dim(V_3\cap\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=6\) - żadna klatka nie jest dokładnie trzyelementowa,
\(\dim(V_4\cap\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=2\) - są \(4\) klatki czteroelementowe,
\(\dim(V_5\cap\mathrm{Ker}(L-\lambda_1))=0\) - dwie klatki pięcioelementowe, koniec.
Konstrukcję zaczynamy od najgłębszych warstw. Powiedzmy, że dla przestrzeni \(V_5\) znajdziemy jakąś bazę Jordana \((v_1, v_2, v_3, v_4)\).
W przestrzeni \(V_4\) mamy dwuwymiarowe jądro. Znajdźmy jakąkolwiek bazę tego jądra \((w_{41}, w_{42})\). Wektory z jądra są wektorami własnymi, więc tu na razie uzyskaliśmy dwie klatki Jordana rozmiaru \(1\). W kolejnych krokach będziemy te klatki przedłużać i dodamy następne. Mamy \(6\) wektorów w sześciowymiarowej przestrzeni \(V_4\): \(v_1, v_2, v_3, v_4, w_{41}, w_{42}\). Jeśli chcemy się upewnić, że jest to baza przestrzeni \(V_4\) możemy sprawdzić liniową niezależność. Jeśli
\(a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 + a_4v_4 + b_{41}w_{41} + b_{42}w_{42} = 0\),
to po przyłożeniu do tej równości przekształcenia \(L-\lambda_1\) dostaniemy:
\(a_1(L-\lambda_1)v_1 + a_2(L-\lambda_1)v_2 + a_3(L-\lambda_1)v_3 + a_4(L-\lambda_1)v_4 = 0\).
Przekształcenie jest nieosobliwe na przestrzeni \(V_5\), więc wektory \((L-\lambda_1)v_1,\ldots,(L-\lambda_1)v_4\) są bazą \(V_5\), więc z powyższej równości mamy \(a_1=a_2=a_3=a_4=0\). Podstawiając to do wcześniejszej równości mamy:
\(b_{41}w_{41} + b_{42}w_{42} = 0\),
więc \(b_{41} = b_{42} = 0\).
W następnym kroku otrzymaną sześcioelementową bazę \(V_4\) chcemy uzupełnić do dwunastoelementowej bazy przestrzeni \(V_3\). Mamy tu do zrobienia dwie rzeczy: 1) dodać kolejne wektory własne, 2) przedłużyć klatki Jordana z poprzedniego kroku.
1) Jądro jest sześciowymiarowe - uzupełnijmy bazę poprzedniego jądra \((w_{41}, w_{42})\) o nowe wektory: \(w_{33}, w_{34}, w_{35}, w_{36}\).
2) Znajdźmy takie wektory \(w_{31}, w_{32}\), że \((L-\lambda_1)w_{31}=w_{41}\) i \((L-\lambda_1)w_{32}=w_{42}\).
Mamy więc już \(8\) wektorów Jordana dla wartości własnej \(\lambda_1\):
\(w_{31}\mapsto w_{41}\mapsto0\)
\(w_{32}\mapsto w_{42}\mapsto0\)
\(w_{33}\mapsto0\)
\(w_{34}\mapsto0\)
\(w_{35}\mapsto0\)
\(w_{36}\mapsto0\)
Jeśli chcemy sprawdzić liniową niezależność, to robimy to podobnie jak poprzednio:
\(a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 + a_4v_4 + b_{41}w_{41} + b_{42}w_{42} + b_{31}w_{31} + b_{32}w_{32} + b_{33}w_{33} + b_{34}w_{34} + b_{35}w_{35} + b_{36}w_{36} = 0\)
Po przyłożeniu \((L-\lambda_1)\) mamy:
\(a_1(L-\lambda_1)v_1 + a_2(L-\lambda_1)v_2 + a_3(L-\lambda_1)v_3 + a_4(L-\lambda_1)v_4 + b_{31}w_{41} + b_{32}w_{42}= 0\).
Stąd \(a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = b_{31} = b_{32} = 0\). Po podstawieniu do poprzedniej równości mamy:
\(b_{41}w_{41} + b_{42}w_{42} + b_{33}w_{33} + b_{34}w_{34} + b_{35}w_{35} + b_{36}w_{36} = 0\)
i dalej z liniowej niezależności dla bazy jądra otrzymujemy \(b_{41} = b_{42} = b_{33} = b_{34} = b_{35} = b_{36} = 0\).
W kolejnym kroku dla przestrzeni \(V_2\) akurat w naszym przykładzie jądro się nie zwiększyło, więc tylko dodajemy wektory \(w_{21}, w_{22}, w_{23}, w_{24}, w_{25}, w_{26}\), które w przekształceniu \(L-\lambda_1\) przechodzą na uzyskane wcześniej: \(w_{31}, w_{32}, w_{33}, w_{34}, w_{35}, w_{36}\). Łącznie nasz zbiór wektorów Jordana dla wartości \(\lambda_1\) liczy już \(14\) wektorów:
\(w_{21}\mapsto w_{31}\mapsto w_{41}\mapsto0\)
\(w_{22}\mapsto w_{32}\mapsto w_{42}\mapsto0\)
\(w_{23}\mapsto w_{33}\mapsto0\)
\(w_{24}\mapsto w_{34}\mapsto0\)
\(w_{25}\mapsto w_{35}\mapsto0\)
\(w_{26}\mapsto w_{36}\mapsto0\)
Każdy z tych sześciu strumieni odpowiada jednej klatce Jordana.
Żeby uzupełnić bazę dla przestrzeni \(V_1\), dodajemy kolejne wektory \(w_{11}, \ldots, w_{19}\). Sześć z nich przedłuża otrzymane już strumienie, a trzy należą do jądra.
\(w_{11}\mapsto w_{21}\mapsto w_{31}\mapsto w_{41}\mapsto0\)
\(w_{12}\mapsto w_{22}\mapsto w_{32}\mapsto w_{42}\mapsto0\)
\(w_{13}\mapsto w_{23}\mapsto w_{33}\mapsto0\)
\(w_{14}\mapsto w_{24}\mapsto w_{34}\mapsto0\)
\(w_{15}\mapsto w_{25}\mapsto w_{35}\mapsto0\)
\(w_{16}\mapsto w_{26}\mapsto w_{36}\mapsto0\)
\(w_{17}\mapsto0\)
\(w_{18}\mapsto0\)
\(w_{19}\mapsto0\)
W ostatnim kroku dodajemy kolejne wektory, otrzymując:
\(w_{01}\mapsto w_{11}\mapsto w_{21}\mapsto w_{31}\mapsto w_{41}\mapsto0\)
\(w_{02}\mapsto w_{12}\mapsto w_{22}\mapsto w_{32}\mapsto w_{42}\mapsto0\)
\(w_{03}\mapsto w_{13}\mapsto w_{23}\mapsto w_{33}\mapsto0\)
\(w_{04}\mapsto w_{14}\mapsto w_{24}\mapsto w_{34}\mapsto0\)
\(w_{05}\mapsto w_{15}\mapsto w_{25}\mapsto w_{35}\mapsto0\)
\(w_{06}\mapsto w_{16}\mapsto w_{26}\mapsto w_{36}\mapsto0\)
\(w_{07}\mapsto w_{17}\mapsto0\)
\(w_{08}\mapsto w_{18}\mapsto0\)
\(w_{09}\mapsto w_{19}\mapsto0\)
Razem \(32\) wektory dla dziewięciu klatek wartości własnej \(\lambda_1\). Poszczególne wiersze powyżej odpowiadają kolejnym klatkom. Do tego \(4\) wektory dla pozostałych wartości własnych. Rysunek:
-
3a174ad9764fefcb
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Postać kanoniczna Jordana
W przypadku macierzy \(4\times4\), jeśli mamy tylko jedną wartość własną (np. \(7\)), to mamy \(5\) możliwości, jak będzie wyglądała postać Jordana:
\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 7&0&0&0\\ 0&7&0&0\\ 0&0&7&0\\ 0&0&0&7\end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ B=\begin{pmatrix} 7&0&0&0\\ 1&7&0&0\\ 0&0&7&0\\ 0&0&0&7\end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ C=\begin{pmatrix} 7&0&0&0\\ 1&7&0&0\\ 0&0&7&0\\ 0&0&1&7\end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ D=\begin{pmatrix} 7&0&0&0\\ 1&7&0&0\\ 0&1&7&0\\ 0&0&0&7\end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ E=\begin{pmatrix} 7&0&0&0\\ 1&7&0&0\\ 0&1&7&0\\ 0&0&1&7\end{pmatrix}}\)
Większość z nich rozpoznamy już po wymiarze pierwszego obrazu:
\(\mathrm{rank}(A-7I)=0\)
\(\mathrm{rank}(B-7I)=1\)
\(\mathrm{rank}(C-7I)=\mathrm{rank}(D-7I)=2\)
\(\mathrm{rank}(E-7I)=3\)
Żeby odróżnić \(C\) od \(D\), trzeba spojrzeć jeszcze na następny obraz:
\(\mathrm{rank}((C-7I)^2)=0\)
\(\mathrm{rank}((D-7I)^2)=1\)