Podwójny iloczyn wektorowy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Lee556
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 13 paź 2012, o 13:56
Płeć: Mężczyzna

Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: Lee556 »

Witam. Mam problem z zadaniem:
1. Udowodnić podane własności rozkładając wektory na składowe:
\(\displaystyle{ \vec{a} \times( \vec{b} \times \vec{c} )= \vec{b} \circ (\vec{a} \circ \vec{c}) - \vec{c}\circ( \vec{a}\circ \vec{b} )}\)
Dziękuje z góry za odpowiedź. Pozdrawiam
szw1710

Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: szw1710 »

Po lewej mamy iloczyn wektorowy, który jest wektorem, a po prawej iloczyn skalarny, który jest liczbą. A więc zadanie jest źle sformułowane.
Lee556
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 13 paź 2012, o 13:56
Płeć: Mężczyzna

Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: Lee556 »

A jeśli tam było tak zapisane \(\displaystyle{ \vec{a} \times( \vec{b} \times \vec{c} )= \vec{b} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{b} )}\)
To zadanie ma sens?
szw1710

Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: szw1710 »

Też nie.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: Wasilewski »

Ale powinno być jasne, że chodzi o równość
\(\displaystyle{ a \times (b \times c) = (a\cdot c)b - (a \cdot b)c,}\)
albo coś w tym stylu.
Lee556
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 13 paź 2012, o 13:56
Płeć: Mężczyzna

Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: Lee556 »

Tak tylko że ja mam to rozpisać tak że \(\displaystyle{ \vec{a} = [a _{x} ,a _{y} ,a _{z}]}\) i tak dalej, i udowodnić tę równość.
sprd123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 30 paź 2012, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: sprd123 »

Witam!

Podpinam się do tematu ponieważ dostałem na okres świąteczny zadanie domowe aby wykazać dokładnie to samo co o czym pisze autor.

Jest nawet o tym w internecie. To jest wzór Lagrange`a.

Kod: Zaznacz cały

pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_wektorowy#Wz.C3.B3r_Lagrange.27a
Iloczyn wektorowy: Wzór Lagrange'a

I to jest wykonalne.

Natomiast na wikipedii to jest napisane ale te ich obliczenia biorą się z nieba. Przynajmniej dla mnie są wogóle nie zrozumiałe.

Ja umiem mnożyć wektorowo tylko la plasem z wyznacznika. Ale co bym nie robił to nie chce mi wyjść to co im.


Błagam, pomóżcie dobrzy ludzie.

Wytłumaczcie krok po kroczku co i jak powinno się robić.
MaCheFi_60
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 cze 2022, o 09:11
Płeć: Mężczyzna
wiek: 60

Re: Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: MaCheFi_60 »

Zadanie to ma sens. Wspomniany zapis jest po obu stronach wektorem. Zarówno
\(\displaystyle{ \vec{a} \times ( \vec{b} \times \vec{c}) }\)
jak i
\(\displaystyle{ \vec{b} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{b})}\)
są wektorami.

Drugie równanie to różnica dwóch wektorów przemnożonych przez liczby będące iloczynami skalarnymi.

Dowód w oparciu o współrzędne jest dość długi rachunkowo, choć niezbyt trudny.

Wektor \(\displaystyle{ ( \vec{b} \times \vec{c} )}\)
można przedstawić jako
\(\displaystyle{ [ b_{2}c_{3}- b_{3}c_{2}, -b_{1}c_{3}+ b_{3}c_{1}, b_{1}c_{2}- b_{2}c_{1}].
}\)
Teraz wystarczy skorzystać z wyznacznikowej definicji iloczynu wektorowego i po nieco przydługich rachunkach otrzymamy dowód.

Powodzenia
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: Jan Kraszewski »

MaCheFi_60 pisze: 28 cze 2022, o 09:28jak i
\(\displaystyle{ \vec{b} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \cdot \vec{b})}\)
są wektorami.
Wiadomo, o co chodzi, ale powyższy zapis jest jednak niedobry, bo używa w jednym wzorze tego samego symbolu w dwóch różnych znaczeniach. I dlatego powinno być \(\displaystyle{ \vec{b} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{b})}\) (albo \(\displaystyle{ \vec{b} ( \vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} ( \vec{a} \cdot \vec{b})}\)).

JK
MaCheFi_60
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 cze 2022, o 09:11
Płeć: Mężczyzna
wiek: 60

Re: Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: MaCheFi_60 »

Zgadza się, to było nieprecyzyjne. Dodam jeszcze tylko, że prawdopodobne źródło niepowodzeń obliczeniowych wynika z faktu, że podwójny iloczyn wektorowy nie jest łączny a wynik \(\displaystyle{ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} }\) jest inny niż \(\displaystyle{ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) }\).
Mówiąc dokładniej możemy podać, że obowiązują wzory:
\(\displaystyle{
(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{b} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{c}) - \vec{a} \cdot ( \vec{b} \circ \vec{c})
}\)

oraz
\(\displaystyle{ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{c}) - \vec{c} \cdot ( \vec{a} \circ \vec{b})
}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: janusz47 »

Geometryczny dowód podwójnego iloczynu wektorowego znajduje się w przystępnie napisanej książce Śp. Pana Prof. Edmunda Karaśkiewicza ZARYS TEORII WEKTORÓW I TENSORÓW. PWN WARSZAWA 1976.

Gdzie znajduje zastosowanie podwójny iloczyn wektorowy ?
MaCheFi_60
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 cze 2022, o 09:11
Płeć: Mężczyzna
wiek: 60

Re: Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: MaCheFi_60 »

Ja spotkałem się z użyciem podwójnego iloczynu wektorowego w optyce, w wyprowadzeniu uzasadnienia zjawiska dwójłomności kryształów.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Podwójny iloczyn wektorowy

Post autor: janusz47 »

Tak. Ogólniej w analizie zjawisk rozchodzenia się fal elektromagnetycznych.
ODPOWIEDZ