Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Rayla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 maja 2022, o 12:24
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: Rayla »

Napisz równanie płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ OXY}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ \left( 25,25,25\right) }\).

Wiem, że wektorem normalnym płaszczyzny \(\displaystyle{ OXY}\) jest \(\displaystyle{ \left[ 0,0,1\right] }\) oraz, że równaniem płaszczyzny jest \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\), no ale nie wiem, co dalej.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: janusz47 »

Rys.

Wybieramy punkt \(\displaystyle{ R }\) o wspólrzędnych \(\displaystyle{ ( 0,0,25) }\) na osi \(\displaystyle{ Oz. }\)

Wtedy wektor \(\displaystyle{ \vec{PR} = [...] }\) jest wektorem prostopadłym do szukanej płaszczyzny i równoległym do płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy. }\)


Piszemy równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora \(\displaystyle{ \vec{PR} }\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P = (25,25,25) }\)

\(\displaystyle{ \vec{PR}\cdot [x - 25, y - 25, z - 25] = 0. }\)

Dodano po 54 minutach 20 sekundach:

Wektor \(\displaystyle{ \vec{PR} }\) nie musi być prostopadły do szukanej płaszczyzny.

Lepsze rozwiązanie

Wybieramy na szukanej płaszczyźnie jeszcze jeden punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ R = (x_{0},y_{0}, z_{0})). }\)

Obliczamy współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{PR}. }\)

znajdujemy współrzędne wektora normalnego płaszczyzny

\(\displaystyle{ \vec{n} = [0, 0, 1]\times \vec{PR} }\)

Piszemy równanie szukanej płaszczyzny

\(\displaystyle{ \vec{n}\cdot [ x-25, y-25, z-25] = 0 }\) dobierając współrzęne \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0}, z_{0}). }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: a4karo »

Skoro prosta ma być prostopadła do płaszczyzny `OXY`, to musi również zawierać punkt, który jest rzutem prostopadłym na tę płaszczyznę, czyli punk `(25,25,0)` wstawienie tych punktów do równania prostej da Ci równanie całej rodziny płaszczyzn, które spełniają warunki zadania - jest ich nieskończenie wiele.
Możęsz to sobie wyobrazić tak: przypuśćmy, że płaszczyzna `OXY` jest podłogą. Chcesz postawić drzwi obrotowe, których oś przechodzi przez punkt `(25,25,0)`. Oczywiście ta oś będzie prostopadłą do podłogi i przejdzie przez `(25,25,25)`. Skrzydło drzwi obrotowych w dowolnym położeniu będzie prostopadłę do podłogi. A zatem każda płaszczyzna zawierająca oś (czyli te dwa punkty) spełni warunki zadania
Rayla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 maja 2022, o 12:24
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: Rayla »

a4karo pisze: 20 maja 2022, o 07:01 Skoro prosta ma być prostopadła do płaszczyzny `OXY`, to musi również zawierać punkt, który jest rzutem prostopadłym na tę płaszczyznę, czyli punk `(25,25,0)` wstawienie tych punktów do równania prostej da Ci równanie całej rodziny płaszczyzn, które spełniają warunki zadania - jest ich nieskończenie wiele.
Czyli moim równaniem będzie \(\displaystyle{ 25A+25B+D=0}\)? Czy raczej \(\displaystyle{ 25x+25y+D=0}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: Jan Kraszewski »

Rayla pisze: 21 maja 2022, o 10:06Czyli moim równaniem będzie \(\displaystyle{ 25A+25B+D=0}\)? Czy raczej \(\displaystyle{ 25x+25y+D=0}\)?
A wiesz, czym różnią się te dwa wzory? Czym są \(\displaystyle{ A, B, D, x, y}\)?

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: a4karo »

Nie. Nie każda taka płaszczyzna przechodzi przez `(25,25,25)`. `D` na dość specyficzną postać zależną od `A` i `B`
Rayla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 maja 2022, o 12:24
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: Rayla »

Jan Kraszewski pisze: 21 maja 2022, o 10:35 A wiesz, czym różnią się te dwa wzory? Czym są \(\displaystyle{ A, B, D, x, y}\)?
\(\displaystyle{ A, B, C, D}\) to współczynniki, a \(\displaystyle{ x, y, z}\) to współrzędne
a4karo pisze: 21 maja 2022, o 11:26 Nie. Nie każda taka płaszczyzna przechodzi przez \(\displaystyle{ \left( 25, 25, 25\right) }\). \(\displaystyle{ D}\) ma dość specyficzną postać zależną od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)
Nie mógłbyś mi od razu powiedzieć, jaką wtedy \(\displaystyle{ D}\) ma tę postać? Nie mam żadnej wiedzy na ten temat, bo jest dla mnie nowy, a nigdzie indziej nie znajdę żadnych informacji niż tu. Więc proszę cię łaskawie, podaj mi rozwiązanie tego zadania krok po kroku wraz z odpowiedzią, a nie same wskazówki nakierowujące, bo mi nic nie dają, nie mam najmniejszego pojęcia, co z nimi zrobić.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: Jan Kraszewski »

Rayla pisze: 21 maja 2022, o 11:55\(\displaystyle{ A, B, C, D}\) to współczynniki, a \(\displaystyle{ x, y, z}\) to współrzędne
Czy zatem \(\displaystyle{ 25A+25B+D=0}\) może być równaniem płaszczyzny?
Rayla pisze: 21 maja 2022, o 11:55Nie mam żadnej wiedzy na ten temat, bo jest dla mnie nowy, a nigdzie indziej nie znajdę żadnych informacji niż tu.
Serio? Na sieci można znaleźć dużo różnych materiałów (nie mówiąc już o zwykłych podręcznikach), które omawiają te zagadnienia. Jak dostaniesz gotowca, to dalej nie będziesz mieć żadnej wiedzy, będziesz za to mieć gotowca...

Wiesz, że:
1. Szukane równanie ma postać \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\), zamierzasz zatem wyznaczyć \(\displaystyle{ A,B,C,D.}\)
2. a4karo wytłumaczył Ci, dlaczego takich płaszczyzn, jak Twoja, jest dużo. Nie jest jasne, czy masz wyznaczyć wszystkie, czy tylko jedną przykładową (jak dla mnie treść sugeruje, że powinna wystarczyć przykładowa).
3. Wiesz, że punkty \(\displaystyle{ (25,25,0)}\) i \(\displaystyle{ (25,25,25)}\) należą do tej płaszczyzny, co daje Ci dwie informacje na temat poszukiwanych współczynników: \(\displaystyle{ 25A+25B+25C+D=0}\) i \(\displaystyle{ 25A+25B+D=0}\), skąd \(\displaystyle{ C=...}\) i \(\displaystyle{ D=...}\)
4. Otrzymane informacje wstawiasz do równania \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) i otrzymujesz ...
5. Jeżeli chcesz tylko przykładową płaszczyznę, to możesz przyjąć dowolne konkretne wartości liczbowe dla \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) i wtedy dostaniesz równanie konkretnej płaszczyzny.

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: janusz47 »

Współrzędne wektora prostopadłego płaszczyzny

\(\displaystyle{ \vec{u} = \vec{n}\times \vec{PR} = [0,0, 1]\times [25-x_{0}, 25-y_{0}, 25-z_{0}] = -(25-y_{0})\cdot \vec{i}+(25-x_{0})\cdot \vec{j}+ 0\cdot \vec{k}}\)

Równanie szukanej płaszczyzny

\(\displaystyle{ \vec{u}\cdot [x-25, y-25, z -25]= -(25 -y_{0})(x-25) +(25-x_{0})\cdot (y-25)+0\cdot(z-25) = 0 }\)

\(\displaystyle{ -25x+625 +xy_{0}+25y -625 - x_{0}y = 0 }\)

\(\displaystyle{ -25x +25y +xy_{0}-x_{0}y = 0 }\)

\(\displaystyle{ (y_{0}-25)x - (x_{0}-25)y = 0 }\)

Otzymaliśmy równanie płaszczyzny zależne od wyboru współrzędnych \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0}). }\)

Takich płaszczyzn jak zauważyli Moi przedmówcy jest nieskończenie wiele.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: a4karo »

Gdybyś zechciał jeszcze napisać czym są `x_0` i `y_0` to może miałoby to sens.
Rayla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 maja 2022, o 12:24
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: Rayla »

Jan Kraszewski pisze: 21 maja 2022, o 12:48 Serio? Na sieci można znaleźć dużo różnych materiałów (nie mówiąc już o zwykłych podręcznikach), które omawiają te zagadnienia. Jak dostaniesz gotowca, to dalej nie będziesz mieć żadnej wiedzy, będziesz za to mieć gotowca...
W internecie nie mogłam znaleźć nawet tak podstawowej wiedzy, jak ta, jak wygląda równanie płaszczyzny, nie mówiąc już o rozwiązaniu zadań z tego tematu. Gdybym znalazła to, czego szukam, nie tworzyłabym tutaj posta. I wcale nie proszę o gotowca, tylko o rozwiązanie krok po kroku wytłumaczone wraz z odpowiedzią na końcu
Jan Kraszewski pisze: 21 maja 2022, o 12:48 Wiesz, że:
2. a4karo wytłumaczył Ci, dlaczego takich płaszczyzn, jak Twoja, jest dużo. Nie jest jasne, czy masz wyznaczyć wszystkie, czy tylko jedną przykładową (jak dla mnie treść sugeruje, że powinna wystarczyć przykładowa).
3. Wiesz, że punkty \(\displaystyle{ (25,25,0)}\) i \(\displaystyle{ (25,25,25)}\) należą do tej płaszczyzny, co daje Ci dwie informacje na temat poszukiwanych współczynników: \(\displaystyle{ 25A+25B+25C+D=0}\) i \(\displaystyle{ 25A+25B+D=0}\), skąd \(\displaystyle{ C=...}\) i \(\displaystyle{ D=...}\)
4. Otrzymane informacje wstawiasz do równania \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) i otrzymujesz ...
5. Jeżeli chcesz tylko przykładową płaszczyznę, to możesz przyjąć dowolne konkretne wartości liczbowe dla \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) i wtedy dostaniesz równanie konkretnej płaszczyzny.
2. Czy z równaniem nie jest tak, że jak się je rozwiąże, to wyniki są płaszczyznami spełniającymi te warunki? Ja mam jedynie napisać równanie, nie rozwiązywać go, więc chyba napisać taki jakby 'wzór ogólny' na wszystkie płaszczyzny właśnie spełniające te warunki.

3. Tak i co mam zrobić z tymi równościami? Skoro oba są równe 0, to mogę je przyrównać do siebie, tak? I wtedy mi wyjdzie \(\displaystyle{ 25C=0}\), czyli \(\displaystyle{ C=0}\). Jakbym to zrobiła układem równań, to wyznaczam sobie jeszcze \(\displaystyle{ D=-25A-25B}\). Wstawiam to do wzoru ogólnego i mam \(\displaystyle{ A(x-25)+B(y-25)=0}\). Czy to jest rozwiązanie mojego zadania?

5. Nie chcę, tylko równanie.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do OXY i przechodzącej przez pkt

Post autor: Jan Kraszewski »

Rayla pisze: 21 maja 2022, o 20:41W internecie nie mogłam znaleźć nawet tak podstawowej wiedzy, jak ta, jak wygląda równanie płaszczyzny, nie mówiąc już o rozwiązaniu zadań z tego tematu.
A to podobno ja jestem boomerem, a młodzi urodzili się ze smartfonem w ręce i ich pierwsze słowo to "Guugle"...

Wpisuję w Google "Równanie płaszczyzny" i oto kilka stosunkowo wczesnych wyników:
https://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/716/PDF/29wpga_plaszczyzna.pdf
https://pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-podreczniki_view.php?mode=view&categId=4&handbookId=50&moduleId=262
http://maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl/W-GEO-plaszczyzna-prosta.pdf
i tak dalej...

Nawiasem mówiąc, ktoś ci kazał rozwiązać to zadanie. Nie podał wcześniej literatury? Nie było wykładu?
Rayla pisze: 21 maja 2022, o 20:412. Czy z równaniem nie jest tak, że jak się je rozwiąże, to wyniki są płaszczyznami spełniającymi te warunki? Ja mam jedynie napisać równanie, nie rozwiązywać go, więc chyba napisać taki jakby 'wzór ogólny' na wszystkie płaszczyzny właśnie spełniające te warunki.
Niekoniecznie. Skoro w treści jest "Napisz równanie płaszczyzny" w liczbie pojedynczej, to nie widzę powodu, dlaczego podanie równania jednej konkretnej płaszczyzny nie miałoby spełniać tego polecenia.
Rayla pisze: 21 maja 2022, o 20:413. Tak i co mam zrobić z tymi równościami? Skoro oba są równe 0, to mogę je przyrównać do siebie, tak? I wtedy mi wyjdzie \(\displaystyle{ 25C=0}\), czyli \(\displaystyle{ C=0}\). Jakbym to zrobiła układem równań, to wyznaczam sobie jeszcze \(\displaystyle{ D=-25A-25B}\). Wstawiam to do wzoru ogólnego i mam \(\displaystyle{ A(x-25)+B(y-25)=0}\). Czy to jest rozwiązanie mojego zadania?
Tak, choć należałoby dodać, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, które nie są równocześnie równe zero.
Rayla pisze: 21 maja 2022, o 20:41 5. Nie chcę, tylko równanie.
Ale dla konkretnej prostej to też jest równanie - tej prostej.

JK
ODPOWIEDZ