Układ równań do zadania z treścią

[NapotkanaOsoba]

Hej, mam do rozwiązania 3 podpunkty z zadania, dwa już zrobiłem, a do trzeciego sformułowałem układ równań, ale ostatecznie wynik wychodzi niepoprawny (z tego co rozumiem układ równań mający 4 równania oraz 5 niewiadomych powinien być zależny od parametru, niestety gdy za parametr traktuję zmienną z, to ostatecznie po uproszczeniu jedno z równań się zeruje i otrzymuję 3 równania z 4 niewiadomymi).

-Tutaj treść zadania:
Na poniższym rysunku przedstawiono schemat jednokierunkowych dróg w pewnym
mieście wraz z natężeniami ruchu na trasach wjazdowych i wyjazdowych wyrażonymi
liczbą samochodów przejeżdżających trasą w ciągu minuty.

Kod: Zaznacz cały

https://i.imgur.com/4g4C3Eb.png

(a) Wyznacz wszystkie możliwe natężenia ruchu na trasach pomiędzy węzłami A, B, C i
D umożliwiające płynną jazdę.
(b) Czy można utrzymać płynność ruchu po wyłączeniu z użytkowania drogi z węzła B
do węzła C? A po wyłączeniu trasy AB?
(c) Czy jest możliwe takie zorganizowanie ruchu, aby po trasie BD przejeżdżało 40 samochodów w ciągu minuty?

-Moje rozwiązanie podpunktu b i c:
[ciach]
-Układ równań do podpunktu a:
\begin{cases} d+v=15 \\ y+z-v=20 \\ x+y=55 \\ x-20-z=d \end{cases}
Czy ktoś ma pomysł jak zrobić podpunkt a (albo widzi jakiś błąd w podpunkcie b lub c)? Dzięki za wszelkie sugestie.

Dodano po 3 godzinach 17 minutach 17 sekundach:
Jako że moderator wymierzył sprawiedliwość podpunktowi b i c to poproszę jedynie o pomoc z punktem a jeśli ktoś ma jakiś pomysł co do niego.

[matmatmm]

Co do podpunktu a:

Zacznijmy od tego, że zamiast równości powinny być nierówności:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y\geq 55 \\ v+20 \geq y+z \\ 15 \geq d+v \\ d+z+20 \geq x \end{cases} }\)

Układ ten jest równoważny następującemu układowi równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} d+v =15 \\ x+y= 55 \\ z=35-d-y\end{cases}}\)

dowód:    

Dla dowodu tego faktu dodajemy pierwszą nierówność do czwartej i drugą do trzeciej:

\(\displaystyle{ d+z+y +20 \geq 55}\)
\(\displaystyle{ 35\geq d+y+z}\)

Mamy wtedy \(\displaystyle{ d+y+z=35}\), czyli \(\displaystyle{ z=35-d-y}\), co podstawiamy do początkowego układu:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y\geq 55 \\ d+v+20 \geq 35 \\ 15 \geq d+v \\ 55 \geq x+y \end{cases} }\)

Zatem \(\displaystyle{ x+y=55, d+v=15}\).

Wynikanie w drugą stronę sprawdzamy przez proste podstawienia.

Biorąc pod uwagę dodatkowy warunek, żeby wszystkie liczby były nieujemne pokazujemy, że \(\displaystyle{ (x,y,d,v,z)}\) jest rozwiązaniem wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ x\in [20,55], d\in [0,15], x-d \geq 20, y=55-x, v=15-d, z=x-d-20}\).

Znaczy to tyle, że rozwiązania są zależne od dwóch parametrów \(\displaystyle{ x\in[20,55], d\in [0,15]}\) takich, że \(\displaystyle{ x-d \geq 20}\).

[NapotkanaOsoba]

Ok, dzięki za pomoc.