Grupa izometrii

[Bran]

Zadanie: Niech \(\displaystyle{ I(\RR^2)}\) będzie zbiorem izometrii na płaszczyźnie. Określmy działanie składania: \(\displaystyle{ \circ (f,g) = f \circ g}\). Czy \(\displaystyle{ I(\RR^2)}\) z działaniem "\(\displaystyle{ \circ}\)" stanowi grupę?

Podczas powtórki z algebry liniowej natknąłem się na takie zadanie i niestety nie potrafię go zrobić. Mam problem z tym, że nie mamy wprost podanych tych funkcji. Bardzo proszę o podpowiedź.

[Jan Kraszewski]

Musisz sprawdzić warunki z definicji grupy: łączność, istnienie elementu neutralnego, istnienie elementu odwrotnego.

JK

[Bran]

Ale właśnie moim problemem jest to, że nie bardzo wiem co ma spełniać te warunki. Nie ma chyba jakiegoś wzoru określającego Izometrię?

Mogę sprawdzić dla \(\displaystyle{ f(x) = x}\) i paru innych jakie mi przychodzą do głowy, ale nawet jak sprawdzę je wszystkie, to skąd będę miał pewność, że nie ma innych? Symetria środkowa, symetria osiowa, obrót, identyczność, przesunięcie... Mam ich już pięć, sprawdzenie samych ich złożeń (co również wydaje się być izometrią) to już \(\displaystyle{ 32.}\) W końcu doszedłem do (smutnego) wniosku, że po prostu nie zrozumiałem zadania - dlatego proszę o pomoc.

[a4karo]

Izometrii jest nieskończenie wiele. Ale wszystkie mają wspólną własność, która je w pełni charakteryzuje

[Janusz Tracz]

A czy w definicji izometrii jaką stosujesz wymagasz aby izometria była bijekcją? Widziałem różne podejścia czasem nie zakłada się bijektwności izometrii ale akurat w \(\displaystyle{ \RR^2}\) każda izometria jest bijekcją (pytanie czy to jest część dowodu czy uznajesz to za fakt).

[Bran]

Elementem neutralnym jest funkcja identycznościowa. Izometria jako bijekcja posiada funkcję odwrotną, złożenie funkcji i funkcji do niej odwrotnej jest funkcją identycznościową. Natomiast nadal mam problem z łącznością.

A to, że izometria jest bijekcją przyjmuję za fakt (tak jest zdefiniowana w książce).

[a4karo]

To że izometria jest bijekcją wynika z jej definicji i powinieneś to udowodnić.

Ale potrzebujesz więcej: musisz pokazać, że funkcja odwrotna też jest izometria

[Jan Kraszewski]

Natomiast nadal mam problem z łącznością.

Złożenie funkcji jest operacją łączną.

JK

[Bran]

To że izometria jest bijekcją wynika z jej definicji i powinieneś to udowodnić.

Nie do końca rozumiem to zdanie.

[a4karo]

To napisz definicję izometrii, z której korzystasz.

[Janusz Tracz]

To że izometria jest bijekcją wynika z jej definicji i powinieneś to udowodnić.

Nie każda izometria dowolnej przestrzeni metrycznej (o ile się tego dodatkowo nie założy w definicji) jest bijekcją

przykład:    

Niech \(\displaystyle{ \phi:(\RR_+,d_e)\to(\RR_+,d_e)}\) będzie dana wzorem \(\displaystyle{ \phi(x)=x+1}\). Wtedy dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in\RR_+}\) mamy

\(\displaystyle{ d_e(\phi(x),\phi(y))=d_e(x,y)}\)

ale \(\displaystyle{ \phi[\RR_+] \neq \RR_+}\). Więc nie mamy suriektywności.

Jeśli więc wymagamy jedynie aby spełniony był warunek z odległościami to w ogólności to za mało. (@Bran Dlatego pytałem o definicję). Najwygodniej jest przyjąć, że izometria z definicji musi być bijekcją wtedy omijamy takie problemy (i tak się czasem robi). Jest jeszcze wyjście polegające na tym, że co prawda nie zakładamy bijektywności ale dowodzimy jej w tym szczególnym przypadku \(\displaystyle{ \RR^2}\) (tu się akurat da). W tym wrednym podejściu przydatne mogą być twierdzenia

Izometrie w C:    

Każda izometria płaszczyzny \(\displaystyle{ \CC}\) wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ z\mapsto az+b \quad \text{albo}\quad z\mapsto a\overline{z} +b}\)

dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in\CC}\) przy czym \(\displaystyle{ \left| a\right| =1. }\)

Izometrie w R^2:    

Każda izometria płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR^2}\) wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ \RR^2 \ni \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix}\mapsto A \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} +b\in \RR^2, }\)

gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą ortogonalną wymiaru \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) to znaczy taką, że \(\displaystyle{ AA^{\top}=A^{\top}A=I_{2 \times 2}. }\)

Widać wtedy, że każdą izometrię można odwrócić zatem są to bijekcje. Jeśli Twój kurs algebry celuje w geometrię analityczną to dokładne badanie izometrii ma sens. Jeśli jednak zależy Ci na abstrakcyjnym podejściu od strony grup to nie zawracał bym sobie tym głowy i przyjął, że w definicji izometrii wymagamy aby były to bijekcje. Wtedy zachodzi twierdzenie ogólniejsze. Mianowicie niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie przestrzenią metryczną. Zbiór

\(\displaystyle{ \text{Isom}(X)=\left\{ f\in \text{Bijekcje}(X,X) : f-\text{ izometria}\right\} }\)

wraz ze składaniem \(\displaystyle{ \circ}\) stanowi grupę. I polecam udowodnić to bo nie jest to trudniejsze od dowodu, że \(\displaystyle{ (\text{Isom}(\RR^2),\circ)}\) jest grupą, a dostaje się coś istotnie ogólniejszego. Kilka uwag do dowodu

• łączność działania \(\displaystyle{ \circ}\) masz praktycznie za darmo. Składanie przekształceń jest zawsze łączne,

• istnienie funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ f\in\text{Isom}(X)}\) wynika z tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją. Trzeba jednak sprawdzić, że funkcja odwrotna też jest izometrią to znaczy czy \(\displaystyle{ f^{-1}\in\text{Isom}(X)}\),

• jeśli sprawdzisz, że dla dowolnych \(\displaystyle{ f,g\in \text{Isom}(X)}\) mamy \(\displaystyle{ f\circ g\in\text{Isom}(X)}\) to istnienie elementu neutralnego masz za darmo bo \(\displaystyle{ f\circ f^{-1}=\text{id}\in\text{Isom}(X)}\). Choć to ostatnie można sobie odpuścić i bardziej elegansko będzie po prostu napisać, że \(\displaystyle{ \text{id}\in\text{Isom}(X)}\).