Hiperpłaszczyzny w R^n

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1872
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 266 razy

Hiperpłaszczyzny w R^n

Post autor: matmatmm » 3 paź 2019, o 11:47

Niech \(\displaystyle{ n\in\NN}\). Przyjmijmy następującą definicję:

Powiemy, że \(\displaystyle{ H}\) jest hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową w \(\displaystyle{ \RR^n}\), gdy istnieją \(\displaystyle{ a_0\in\RR^n}\) oraz liniowo niezależne wektory \(\displaystyle{ v_1,\ldots, v_k}\) takie, że \(\displaystyle{ H=a_0+\mathrm{lin}(v_1,\ldots,v_k)}\).

Zadanie 1. Udowodnić, że \(\displaystyle{ H\subset\RR^n}\) jest hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją \(\displaystyle{ b\in\RR^{n-k}}\) oraz macierz \(\displaystyle{ A}\) pełnego rzędu o wymiarach \(\displaystyle{ (n-k)\times n}\) takie, że \(\displaystyle{ H=\{x: Ax=b\}}\).

Zadanie 2. Niech \(\displaystyle{ H\subset K\subset \RR^n}\), gdzie \(\displaystyle{ H,K}\) są hiperpłaszczyznami odpowiednio \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) wymiarowymi. Ponadto \(\displaystyle{ K=\{x:Ax=b\}}\) dla pewnej macierzy \(\displaystyle{ A}\) pełnego rzędu o wymiarach \(\displaystyle{ (n-l)\times n}\) oraz pewnego \(\displaystyle{ b\in \RR^{n-l}}\). Udowodnić, że macierz \(\displaystyle{ A}\) można uzupełnić do macierzy \(\displaystyle{ A'}\) pełnego rzędu o wymiarach \(\displaystyle{ (n-k)\times n}\), a \(\displaystyle{ b}\) do wektora \(\displaystyle{ b'\in\RR^{n-k}}\) takich, że \(\displaystyle{ H=\{x:A'x=b'\}}\).
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 107 razy

Re: Hiperpłaszczyzny w R^n

Post autor: krl » 3 paź 2019, o 16:22

To są standardowe zadania z algebry liniowej.
1. Najpierw udowodnij, że \(\displaystyle{ H\subset\RR^n}\) jest hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją \(\displaystyle{ b\in\RR^{n-k}}\) oraz odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^{n-k}}\) takie, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na" i \(\displaystyle{ H=f^{-1}[{b}]}\). Macierz \(\displaystyle{ A}\) to macierz odwzorowania \(\displaystyle{ f}\).
Podobnie robi się 2.

Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 728
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 124 razy

Re: Hiperpłaszczyzny w R^n

Post autor: karolex123 » 3 paź 2019, o 17:34

Można powołać się na łatwy fakt, iż każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) jest rozwiązaniem pewnego jednorodnego układu równań liniowych (o odpowiednim rzędzie, dopełniającym wymiar podprzestrzeni do \(\displaystyle{ n}\)). Odpowiednia niejednorodność da nam żądaną podprzestrzeń afiniczną :)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5923
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1282 razy

Re: Hiperpłaszczyzny w R^n

Post autor: janusz47 » 3 paź 2019, o 18:44

Można też zastosować indukcję względem \(\displaystyle{ n.}\)

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1872
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 266 razy

Re: Hiperpłaszczyzny w R^n

Post autor: matmatmm » 3 paź 2019, o 20:47

krl pisze:
3 paź 2019, o 16:22
To są standardowe zadania z algebry liniowej.
1. Najpierw udowodnij, że \(\displaystyle{ H\subset\RR^n}\) jest hiperpłaszczyzną \(\displaystyle{ k}\)-wymiarową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją \(\displaystyle{ b\in\RR^{n-k}}\) oraz odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^{n-k}}\) takie, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na" i \(\displaystyle{ H=f^{-1}[{b}]}\). Macierz \(\displaystyle{ A}\) to macierz odwzorowania \(\displaystyle{ f}\).
Podobnie robi się 2.
Wiem, że te zadania to absolutny standard (chyba nawet pojawiają się na pierwszym roku), ale jestem zmuszony poprosić o więcej szczegółów.

krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 107 razy

Re: Hiperpłaszczyzny w R^n

Post autor: krl » 3 paź 2019, o 21:50

To ja proponuję tak w zad 1: niech \(\displaystyle{ B=\{b_1,\ldots,b_n\}}\) będzie taką bazą \(\displaystyle{ \RR^n}\), że wektory \(\displaystyle{ b_1,\ldots,b_k}\) tworzą bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ V}\), której warstwą (przesunięciem) jest hiperpłaszczyzna \(\displaystyle{ H}\).
Określamy odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\RR^n\to\RR^{n-k}}\) następująco: dla wektora \(\displaystyle{ v\in\RR^n}\) znajdujemy jego przedstawienie jako kombinację liniową \(\displaystyle{ \sum r_ib_i}\). Określamy \(\displaystyle{ f(v)=(r_{k+1},\ldots,r_n)\in\RR^{n-k}}\). \(\displaystyle{ f}\) jest liniową surjekcją z jądrem \(\displaystyle{ V}\), włókna tego odwzorowania to wszystkie warstwy \(\displaystyle{ V}\), w szczególności jedno z nich to \(\displaystyle{ H}\). Macierz \(\displaystyle{ A}\) odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) w bazach standardowych jest dobra.
Podobnie robi się 2.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1872
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 266 razy

Re: Hiperpłaszczyzny w R^n

Post autor: matmatmm » 29 lip 2020, o 20:26

Dowód jest dla mnie jasny, ale nie wiem z czego wynika, że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest pełnego rzędu. Nie zwróciłem na to wcześniej uwagi.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9161
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1986 razy

Re: Hiperpłaszczyzny w R^n

Post autor: Dasio11 » 29 lip 2020, o 21:17

Wystarczy wykazać, że podprzestrzeń rozpięta przez kolumny tej macierzy to obraz \(\displaystyle{ f}\), w tym obrazem jest oczywiście \(\displaystyle{ \RR^{n-k}}\).

ODPOWIEDZ