Układ równań Ax=b

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
turowska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 mar 2020, o 20:59
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Układ równań Ax=b

Post autor: turowska » 25 mar 2020, o 21:15

Dany jest niesprzeczny układ \(\displaystyle{ m}\) równań liniowych \(\displaystyle{ Ax=b.}\)

Wyjaśnić, dlaczego bez szkody dla ogólności rozważań można założyć, że macierz \(\displaystyle{ A}\) ma pełny rząd macierzowy, czyli \(\displaystyle{ r(A)=m}\).

Czy mogę prosić o jakąś podpowiedź?
Ostatnio zmieniony 25 mar 2020, o 21:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8858
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1884 razy

Re: Układ równań Ax=b

Post autor: Dasio11 » 26 mar 2020, o 08:38

A jakie to rozważania?

turowska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 mar 2020, o 20:59
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Układ równań Ax=b

Post autor: turowska » 26 mar 2020, o 12:41

W następnym podpunkcie trzeba pokazać, że zbiór rozwiązań tego układu jest podprzestrzenią afiniczną.

Chciałam to udowodnić dla ogółu przypadków, ale przecież z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że \(\displaystyle{ \displaystyle{r(A)=n}}\) i to tylko wtedy, gdy układ ma jedno rozwiązanie.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17670
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2980 razy

Re: Układ równań Ax=b

Post autor: a4karo » 26 mar 2020, o 16:03

Układ równań
\begin{cases}
x=1\\
2x=2\\3x=3\\4x=4
\end{cases}

jest niesprzeczny, ma cztery równania, a rząd macierzy jest równy `1`.
Ostatnio zmieniony 26 mar 2020, o 16:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5720
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Układ równań Ax=b

Post autor: janusz47 » 27 mar 2020, o 18:54

Rozwiązania układu równań liniowych

Załóżmy, że dany niesprzeczny układ równań liniowych

\(\displaystyle{ AX = B \ \ (1) }\)

który ma macierz o rzędzie \(\displaystyle{ rk(A) = m. }\)

Dla uproszczenia dalszego rozwiązania załóżmy, że minor wymiaru \(\displaystyle{ m }\) stojący w lewym górnym rogu macierzy \(\displaystyle{ A }\) jest różny od zera.
Nie ogranicza to ogólności. Po pierwsze kolejność równań nie ma znaczenia, a przez ich zmianę, można zawsze maksymalny układ liniowo niezależnych wierszy sprowadzić na pierwsze \(\displaystyle{ m }\) pozycji. Po drugie, przestawiamy kolumny macierzy \(\displaystyle{ A, }\) tak, aby maksymalny układ liniowo niezależnych kolumn również zajął pierwszych \(\displaystyle{ m }\) pozycji, dokonując takiego samego przestawienia kolejności niewiadomych \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} }\) w kolumnie \(\displaystyle{ X.}\)
Otrzymujemy układy równoważne.
Współczynniki każdego z równań są jednym wierszem macierzy dołączonej \(\displaystyle{ [A|B ] }\) Rozważmy te wiersze jako wektory przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{1\times (n+1)}. }\) Jeśli pewien wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy, to równanie przez niego określone wynika z równań zadanych wierszami tworzącymi tą kombinację liniową. Odrzucenie tego równania prowadzi do powstania układu równoważnego wyjściowemu.
Zgodnie więc z naszymi założeniami, otrzymujemy układ równoważny, zachowując tylko \(\displaystyle{ m }\) pierwszych równań. Zapisujemy go w postaci

\(\displaystyle{ ( A_{1} \ \ A_{2}) \cdot \left(\begin{matrix} X_{1}\\ X_{2} \end{matrix}\right) = B_{1} }\)

\(\displaystyle{ A_{1} }\) jest nieosobliwą macierzą kwadratową \(\displaystyle{ m\times m }\) ( jest to blok, który zajmuje lewy górny róg macierzy \(\displaystyle{ A}\)),
\(\displaystyle{ X = \left(\begin{matrix} X_{1}\\ X_{2} \end{matrix}\right), \ \ (X_{1}}\) jest kolumną \(\displaystyle{ m }\) -wyrazową , a \(\displaystyle{ X_{2} (n-m) }\) wyrazową) .

Mnożąc macierze blokowo otrzymujemy

\(\displaystyle{ A_{1}X_{1} + A_{2}X_{2} = B_{1} }\)

\(\displaystyle{ A_{1}X_{1} = B_{1} - A_{2}X_{2} }\)

Przy dowolnie zadanym wektorze układ jest układem Cramera i ogólne rozwiązanie układu ma postać

\(\displaystyle{ X = \left (\begin{matrix} A^{-1}_{1}( B_{1} - A_{2}X_{2}) \\ X_{2} \end{matrix} \right) \ \ (2)}\)

Jeśli zapiszemy wektor \(\displaystyle{ X_{2} }\) jako \(\displaystyle{ X_{2} = \left( \begin{matrix} t_{1}\\ t_{2} \\ ...\\ t_{n-1 -m}\\ t_{n-m} \end{matrix}\right), }\) to jego rozkład w bazie kanonicznej ma postać \(\displaystyle{ X_{2} = \sum_{i=1}^{n-m} t_{i}e_{i}. \\ }\)

Wstawiając ten rozkład do rozwiązania \(\displaystyle{ (2) }\) dostajemy

\(\displaystyle{ X = \left( \begin{matrix} A^{-1}_{1}B_{1} \\ 0 \end{matrix} \right) + \sum_{i=1}^{n-m} t_{i} \left( \begin{matrix} -A^{-1}_{1}A_{2}e_{i} \\ e_{i} \end{matrix} \right) = X_{0} + \sum_{i=1}^{n-m} t_{i} X_{i} \ \ (3) }\)

gdzie

\(\displaystyle{ X_{0} = \left( \begin{matrix} A^{-1}_{1}B_{1} \\ 0 \end{matrix} \right) }\)


Z \(\displaystyle{ (3) }\) wynika, że rozwiązanie ogólne układu równań liniowych \(\displaystyle{ (1) }\) generuje podprzestrzeń afiniczną o kierunku będącym przestrzenią rozwiązań odpowiadającego układu jednorodnego \(\displaystyle{ X_{0}. }\)

Dla dokończenia naszych rozważań pozostaje wykazać, że wektory \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, ..., X_{n-1-m}, X_{n-m} }\) są liniowo niezależne.

Ale to jest natychmiast widoczne, bo jeśli \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-m} t_{i}X_{i} = 0, }\) to w szczególności \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-m} t_{i}e_{i} = 0 }\) więc \(\displaystyle{ t_{1} = t_{2}= ...= t_{n-1-m}= t_{m} = 0. }\)

ODPOWIEDZ