Dobry wieczór
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego Zasadnicze Twierdzenie algebry oznacza ,że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego.
Czytam dowód i nie rozumiem jak to się wiąże.
Dziękuję za przeczytanie posta.
Zasadnicze twierdzenie algebry
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Zasadnicze twierdzenie algebry
Szkic: Z Zasadniczego Twierdzenia Algebry oraz twierdzenia Bezouta wynika, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na (zespolone) czynniki liniowe. Inny fakt mówi, że zbiór pierwiastków zespolonych wielomianu o współczynnikach rzeczywistych jest zamknięty na sprzężenie. Wynika stąd, że czynniki liniowe odpowiadające nierzeczywistym pierwiastkom można połączyć w pary postaci \(\displaystyle{ z-a}\) i \(\displaystyle{ z-\overline{a}}\), których wymnożenie daje wielomian \(\displaystyle{ z^2 - 2 \Re(a) z + |a|^2}\), mający rzeczywiste współczynniki.
Czego dokładnie nie rozumiesz?
Czego dokładnie nie rozumiesz?
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 28 sty 2020, o 22:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 3 razy
Re: Zasadnicze twierdzenie algebry
Może przedstawię problem od początku.
Moim zadaniem jest coś takiego:
Udowodnij, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć
na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej
drugiego.
I wiem, że udowadnia się to ZT Algebry, po prostu nie jestem pewien czy jeśli w tym momencie przedstawię dowód tego twierdzenia: Dla każdego wielomianu \(\displaystyle{ w ∈ C[x] }\)stopnia dodatniego istnieje\(\displaystyle{ λ ∈ C }\)takie, że \(\displaystyle{
w(λ) = 0.}\) to wystarczy?
Dodano po 14 sekundach:
Przepraszam za tak późną odpowiedź
Moim zadaniem jest coś takiego:
Udowodnij, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć
na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej
drugiego.
I wiem, że udowadnia się to ZT Algebry, po prostu nie jestem pewien czy jeśli w tym momencie przedstawię dowód tego twierdzenia: Dla każdego wielomianu \(\displaystyle{ w ∈ C[x] }\)stopnia dodatniego istnieje\(\displaystyle{ λ ∈ C }\)takie, że \(\displaystyle{
w(λ) = 0.}\) to wystarczy?
Dodano po 14 sekundach:
Przepraszam za tak późną odpowiedź
-
- Użytkownik
- Posty: 22209
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Zasadnicze twierdzenie algebry
Nie, bo wielomiany o współczynnikach zespolonych nie rozkłądają się na wielomiany o współczynnikach rzeczywistych (weż sobie np. `(z-1)(z-i)`)
Urok wielomianów o rzeczywistych współczynnikach polega na tym, że ich pierwiastki zespolone układają się parami - pierwiastek i jego sprzężenie.
Udowodnij ten prosty fakt. Iloczyn \((z-\lambda)(z-\overline{\lambda})\) ma współczynniki rzeczywiste
Urok wielomianów o rzeczywistych współczynnikach polega na tym, że ich pierwiastki zespolone układają się parami - pierwiastek i jego sprzężenie.
Udowodnij ten prosty fakt. Iloczyn \((z-\lambda)(z-\overline{\lambda})\) ma współczynniki rzeczywiste
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 28 sty 2020, o 22:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 3 razy
Re: Zasadnicze twierdzenie algebry
Nie tego, że wszystkie pierwsiatki są kwadratowe i pozbywamy się ewentualnych liczb urojonych?
-
- Użytkownik
- Posty: 22209
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Zasadnicze twierdzenie algebry
Pierwiastek nie jest kwadratowy. On jest bardzo kanciasty i spiczasty na dole.
A serio : nie, bo `z^2` zwykle nie jest liczbą rzeczywistą
A serio : nie, bo `z^2` zwykle nie jest liczbą rzeczywistą