Zasadnicze twierdzenie algebry

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Klaing
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2020, o 22:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Zasadnicze twierdzenie algebry

Post autor: Klaing » 12 lut 2020, o 17:49

Dobry wieczór
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego Zasadnicze Twierdzenie algebry oznacza ,że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego.
Czytam dowód i nie rozumiem jak to się wiąże.
Dziękuję za przeczytanie posta.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9164
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1986 razy

Re: Zasadnicze twierdzenie algebry

Post autor: Dasio11 » 12 lut 2020, o 21:13

Szkic: Z Zasadniczego Twierdzenia Algebry oraz twierdzenia Bezouta wynika, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na (zespolone) czynniki liniowe. Inny fakt mówi, że zbiór pierwiastków zespolonych wielomianu o współczynnikach rzeczywistych jest zamknięty na sprzężenie. Wynika stąd, że czynniki liniowe odpowiadające nierzeczywistym pierwiastkom można połączyć w pary postaci \(\displaystyle{ z-a}\) i \(\displaystyle{ z-\overline{a}}\), których wymnożenie daje wielomian \(\displaystyle{ z^2 - 2 \Re(a) z + |a|^2}\), mający rzeczywiste współczynniki.

Czego dokładnie nie rozumiesz?

Klaing
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2020, o 22:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Re: Zasadnicze twierdzenie algebry

Post autor: Klaing » 15 lut 2020, o 19:15

Może przedstawię problem od początku.
Moim zadaniem jest coś takiego:
Udowodnij, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć
na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej
drugiego.

I wiem, że udowadnia się to ZT Algebry, po prostu nie jestem pewien czy jeśli w tym momencie przedstawię dowód tego twierdzenia: Dla każdego wielomianu \(\displaystyle{ w ∈ C[x] }\)stopnia dodatniego istnieje\(\displaystyle{ λ ∈ C }\)takie, że \(\displaystyle{
w(λ) = 0.}\)
to wystarczy?

Dodano po 14 sekundach:
Przepraszam za tak późną odpowiedź

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18358
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3097 razy

Re: Zasadnicze twierdzenie algebry

Post autor: a4karo » 15 lut 2020, o 19:37

Nie, bo wielomiany o współczynnikach zespolonych nie rozkłądają się na wielomiany o współczynnikach rzeczywistych (weż sobie np. `(z-1)(z-i)`)

Urok wielomianów o rzeczywistych współczynnikach polega na tym, że ich pierwiastki zespolone układają się parami - pierwiastek i jego sprzężenie.
Udowodnij ten prosty fakt. Iloczyn \((z-\lambda)(z-\overline{\lambda})\) ma współczynniki rzeczywiste

Klaing
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2020, o 22:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Re: Zasadnicze twierdzenie algebry

Post autor: Klaing » 16 lut 2020, o 16:46

\(\displaystyle{
(x-zi)(x+zi) = x^2 + z^2}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18358
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3097 razy

Re: Zasadnicze twierdzenie algebry

Post autor: a4karo » 16 lut 2020, o 17:01

Klaing pisze:
16 lut 2020, o 16:46
\(\displaystyle{
(x-zi)(x+zi) = x^2 + z^2}\)
Czego to ma dowieść?

Klaing
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2020, o 22:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Re: Zasadnicze twierdzenie algebry

Post autor: Klaing » 17 lut 2020, o 21:33

Nie tego, że wszystkie pierwsiatki są kwadratowe i pozbywamy się ewentualnych liczb urojonych?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18358
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3097 razy

Re: Zasadnicze twierdzenie algebry

Post autor: a4karo » 17 lut 2020, o 21:47

Pierwiastek nie jest kwadratowy. On jest bardzo kanciasty i spiczasty na dole.




A serio : nie, bo `z^2` zwykle nie jest liczbą rzeczywistą

ODPOWIEDZ