Dla jakich wartości parametrów a,b,c,d układ równań jest sprzeczny

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
dddsosa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 4 sty 2020, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Dla jakich wartości parametrów a,b,c,d układ równań jest sprzeczny

Post autor: dddsosa » 23 sty 2020, o 19:12

Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) układ jest sprzeczny

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=a\\
z+t=b\\
x+z=c\\
y+t=d \end{cases} }\)


korzystając z twierdzenie Kroneckera-Capellego, że układ jest sprzeczny, kiedy rząd macierzy \(\displaystyle{ \neq}\) rzędowi macierzy uzupełnionej doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ c+d= a+b}\) . Co powinienem zrobić dalej, żeby wyliczyć wartości \(\displaystyle{ a,b,c,d}\)?
Ostatnio zmieniony 23 sty 2020, o 19:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex]. Więcej szacunku dla Kroneckera i Capellego.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7357
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2909 razy

Re: Dla jakich wartości parametrów a,b,c,d układ równań jest sprzeczny

Post autor: kerajs » 23 sty 2020, o 20:29

Ponieważ wyznacznik z macierzy głównej jest różny od zera, więc zarówno jej rząd , jak i rząd macierzy uzupełnionej wynosi \(\displaystyle{ 4}\). Wniosek: układ nigdy nie będzie sprzeczny.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17519
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2953 razy

Re: Dla jakich wartości parametrów a,b,c,d układ równań jest sprzeczny

Post autor: a4karo » 23 sty 2020, o 20:36

Chyba nie jest rzędu 4

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7357
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2909 razy

Re: Dla jakich wartości parametrów a,b,c,d układ równań jest sprzeczny

Post autor: kerajs » 23 sty 2020, o 20:50

Sorki, mój błąd.

Układ w postaci macierzowej:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\0&0&1&1\\1&0&1&0\\ 0&1&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\t \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\b\\c\\d \end{array}\right]}\)
Faktycznie:
\(\displaystyle{ det \left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\0&0&1&1\\1&0&1&0\\ 0&1&0&1\end{array}\right]=0}\)
(Mi wyszło 2 gdyż jedną z jedynek wpisałem o jedno miejsce za daleko.)
Układ (działając wyłącznie na wierszach)przekształcam do:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\0&0&1&1\\0&-1&1&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\t \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\b\\c-a\\d+c-a-b \end{array}\right]}\)
Jeżeli znów się nie pomyliłem, to układ jest sprzeczny gdy: \(\displaystyle{ d+c-a-b \neq 0}\)

ODPOWIEDZ