Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
maciek259
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 sty 2020, o 00:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.

Post autor: maciek259 » 14 sty 2020, o 00:55

Szanowni koledzy i koleżanki,
ostatnio spotkałem się z podanym zadaniem i nie potrafię go zrobić.
Treść: Niech
\(\displaystyle{ M = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 1\\
2 & 1 & -2 & -1
\end{bmatrix} }\)

i odwzorowanie \(\displaystyle{ f:\mathbb{R^{\text{2,2}}}\rightarrow \mathbb{R^\text{2,2}}}\) jest dane wzorem:
\(\displaystyle{ f(A) = M \cdot \begin{bmatrix}
A\\
A
\end{bmatrix}}\)
dla \(\displaystyle{ A \in \mathbb{R^\text{2,2}}.}\)

(a) Zapisz macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) w bazie(\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}}\)) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\).
(b) Wyznacz bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \ker f}\) oraz \(\displaystyle{ \Im f}\).
Pierwszy raz widzę na oczy przekształcenie liniowe przyjmujące macierze jako argumenty i nie rozumiem, jak ono powinno działać. Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś to rozwiązał. Dodatkowo z tego, co rozumiem, to macierz takiego przekształcenie należy do \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{4,4}}}\), ponieważ wymiar \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\) wynosi \(\displaystyle{ 2\cdot 2 = 4}\), więc jak możliwe jest przedstawić ją w bazie \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\) ?
Ostatnio zmieniony 14 sty 2020, o 01:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa TYLKO do wyrażeń matematycznych.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25971
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4349 razy

Re: Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.

Post autor: Jan Kraszewski » 14 sty 2020, o 01:57

maciek259 pisze:
14 sty 2020, o 00:55
Pierwszy raz widzę na oczy przekształcenie liniowe przyjmujące macierze jako argumenty i nie rozumiem, jak ono powinno działać.
Skoro jest to przekształcenie z przestrzeni macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) w nią samą (nawiasem mówiąc, oznaczenie \(\displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}\) wygląda jakoś lepiej niż \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\)), to nic dziwnego, że argumentami są macierze. Żeby zobaczyć, jak działa, to wybierz sobie kilka przypadkowych macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) i policz wartości tej funkcji dla nich - może wtedy przestanie to być takie egzotyczne.
maciek259 pisze:
14 sty 2020, o 00:55
Dodatkowo z tego, co rozumiem, to macierz takiego przekształcenie należy do \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{4,4}}}\), ponieważ wymiar \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\) wynosi \(\displaystyle{ 2\cdot 2 = 4}\), więc jak możliwe jest przedstawić ją w bazie \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\) ?
A dlaczego nie? Przecież baza \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\) ma cztery elementy.

JK

maciek259
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 sty 2020, o 00:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.

Post autor: maciek259 » 14 sty 2020, o 02:13

Jan Kraszewski pisze:
14 sty 2020, o 01:57
Skoro jest to przekształcenie z przestrzeni macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) w nią samą (nawiasem mówiąc, oznaczenie \(\displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}\) wygląda jakoś lepiej niż \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\)), to nic dziwnego, że argumentami są macierze. Żeby zobaczyć, jak działa, to wybierz sobie kilka przypadkowych macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) i policz wartości tej funkcji dla nich - może wtedy przestanie to być takie egzotyczne.
Potrafię wyliczyć wartości przekształcenia dla bazy standardowej \(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}}\), ale otrzymuję z nich 4 kolejne macierze z \(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}}\). Gdyby to były wektory z \(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathcal{M}_{n\times 1}(\RR)}}\), to wystarczyłoby wpisać je do wierszy macierzy i otrzymalibyśmy szukaną macierz, a tutaj właśnie mam problem, jak skonstruować taką macierz.
maciek259 pisze:
14 sty 2020, o 00:55
Dodatkowo z tego, co rozumiem, to macierz takiego przekształcenie należy do
A dlaczego nie? Przecież baza \(\displaystyle{ \mathbb{R^\text{2,2}}}\) ma cztery elementy.
JK
Tylko, że macierz z \(\displaystyle{ \displaystyle{ \mathcal{M}_{4\times 4}(\RR)}}\) ma 16 elementów i nie wiem, jak je "upchać" w macierz mającą 4 elementy.
Może z powodu późnej godziny, braku zrozumienia teoretycznego albo błędnego zrozumienia polecenia, ale po prostu nie widzę tego.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17526
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2953 razy

Re: Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.

Post autor: a4karo » 14 sty 2020, o 06:42

Może będzie łatwiej gdy na macierz `2\times2` popatrzysz jak na wektor `4\times1`?

maciek259
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 sty 2020, o 00:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.

Post autor: maciek259 » 14 sty 2020, o 11:55

a4karo pisze:
14 sty 2020, o 06:42
Może będzie łatwiej gdy na macierz `2\times2` popatrzysz jak na wektor `4\times1`?
Myślałem o tym i stworzyłem sobie taki izomorfizm.\(\displaystyle{ f\left ( \begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix} \right )= \begin{bmatrix}
a\\
b\\
c\\
d
\end{bmatrix}}\)
. Problem jest z tym, że dane w zadaniu przekształcenie daje dla bazy standardowej \(\displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}\) wartości: \(\displaystyle{ \left ( \begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 2\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix} \right )}\)
. Jeśli potraktuję te wartości moim izomorfizmem, to wyjdą wektory liniowo zależne. Chyba nie o to Ci chodziło. Gdybym miał takim izomorfizmem potraktować argumenty przekształcenia danego w zadaniu, to nie rozumiem, jak zmienia się wzór naszego przekształcenia. Proszę o wytłumaczenie.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25971
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4349 razy

Re: Macierz przekształcenia liniowego, baza jego obrazu i jądra.

Post autor: Jan Kraszewski » 14 sty 2020, o 13:33

maciek259 pisze:
14 sty 2020, o 11:55
Problem jest z tym, że dane w zadaniu przekształcenie daje dla bazy standardowej \(\displaystyle{ \mathcal{M}_{2\times 2}(\RR)}\) wartości: \(\displaystyle{ \left ( \begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 2\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix} \right )}\)
.
No i miodzio. Zauważ, że

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\red{2}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\red{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\red{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}+\red{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 & 2\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\green{0}\cdot \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\green{2}\cdot \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\green{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}+\green{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\blue{1}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\blue{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\blue{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}+\blue{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\magenta{0}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\magenta{1}\cdot \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix}+\magenta{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}+\magenta{0}\cdot \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}}\)

zatem szukana macierz to

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\red{2} & \green{0} & \blue{1} & \magenta{0} \\
\red{0} & \green{2} & \blue{0} & \magenta{1} \\
\red{0} & \green{0} & \blue{0} & \magenta{0} \\
\red{0} & \green{0} & \blue{0} & \magenta{0}
\end{bmatrix}}\)


JK

ODPOWIEDZ