Dzień dobry,
mam do was pytanie. Jak można bardziej rozpisać iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{A} \times \vec{B}}\) niż:\(\displaystyle{ \varepsilon _{ijk} A_{j} \cdot B_{k}}\) ? Nie mogę chyba skorzystać z własności z deltami (bo brakuje mi drugiego epsilonu - chyba że ten epsilon mam "dodać" rozpisując K-tą składową).
Oraz drugi problem: Jak udowodnić że \(\displaystyle{ A \cdot \vec{B} \times \vec{C} = \vec{C} \cdot \vec{A} \times \vec{B}}\) za pomocą właśnie symbolu Leviego-CIvity?
EDIT;Przez przypadek umieściłem w złym dziale, proszę o przeniesienie.
EDIT2:Poprawiłem literówkę z indeksem przy sumowaniu.
Iloczyn wektorowy i mieszany - Levi Civita
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 31 paź 2017, o 11:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tajemnica
Iloczyn wektorowy i mieszany - Levi Civita
Ostatnio zmieniony 4 lis 2018, o 11:15 przez patrykoz, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 125 razy
Re: Iloczyn wektorowy i mieszany - Levi Civita
Zobacz ten temat
wyjaśniam tam inną tożsamość ale jak pojmiesz to udowodnisz bądź obalisz swój wzorek
PS. brak konsekwencji w zapisie u Ciebie
wyjaśniam tam inną tożsamość ale jak pojmiesz to udowodnisz bądź obalisz swój wzorek
PS. brak konsekwencji w zapisie u Ciebie
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: Iloczyn wektorowy i mieszany - Levi Civita
Owszem brakuje Ci tensora by to jeszcze rozpisywać (za pomocą \(\displaystyle{ \delt}\)) taki zapis już jest wystarczający tylko nie dawał bym podwójnego indeksu \(\displaystyle{ i}\) (bo to wprowadza błędy odnośnie konwencji sumowania po podwojonym składniku) więc zapisał bym to tak (nie będę pisał strzałek wektorów bo wynika to z kontekstu):Jak można bardziej rozpisać iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{A} \times \vec{B}}\) niż \(\displaystyle{ \varepsilon _{iijk} A_{j} \cdot B_{k}}\)?
\(\displaystyle{ \left[ A \times B\right]_{{\red{i}}}=\varepsilon _{{\red {i}}jk} a_{j} b_{k}}\)
indeks \(\displaystyle{ i}\) odpowiada \(\displaystyle{ i}\)-tej składowej działania w nawiasach tu będzie to iloczyn wektory a pozostałe indeksy odpowiadają już bezpośrednio składowym wektora \(\displaystyle{ A.B}\). Można to oczywiście rozpisać dalej wykorzystując wszystkie permutacje \(\displaystyle{ \left( i,j,k\right)}\) i będzie to mniej więcej coś takiego:\(\displaystyle{ \left[ A \times B\right]_{{\red{i}}}=\varepsilon _{i23} a_{2} b_{3}+\varepsilon _{i32} a_{3} b_{2}+\varepsilon _{i31} a_{3} b_{1}+\varepsilon _{i13} a_{1} b_{3}+\varepsilon _{i21} a_{2} b_{1}+\varepsilon _{i12} a_{1}b_{2}}\)
Jest to konsekwencja konwencji sumacyjnej po podwojonym wskaźniku. A ponieważ \(\displaystyle{ A \times B=\left[ \left[ A \times B\right]_{1} , \left[ A \times B\right]_{2} , \left[ A \times B\right]_{3}\right]}\) to do ogólnego wzoru trzeba podstawić odpowiednio \(\displaystyle{ i=1,2,3}\) pamiętając przy tym że powielenie wskaźnika w tensorze Levi Civita zeruje go! To daje: \(\displaystyle{ \left[ A \times B\right]_{1}=\varepsilon _{123} a_{2} b_{3}+\varepsilon _{132} a_{3} b_{2}= a_{2} b_{3}-a_3b_2+\text{zera z powielonych wskaźników}}\)
\(\displaystyle{ \left[ A \times B\right]_{2}=\varepsilon _{231} a_{3} b_{1}+\varepsilon _{213} a_{1} b_{3}= a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}+\text{zera z powielonych wskaźników}}\)
\(\displaystyle{ \left[ A \times B\right]_{3}=\varepsilon _{321} a_{2} b_{1}+\varepsilon _{312} a_{1}b_{2}=a_{1}b_{2}-a_{2} b_{1}+\text{zera z powielonych wskaźników}}\)
takim sposobem wyprowadziłem wzór na iloczyn wektorowy za pomocą zwężania tensora Levi Civita.Widzę że już dostałeś odpowiedź więc nie będę się rozpisywać ale warto tu zauważyć że nie będie Ci tu potrzeba znajomość zależności tensora Levi Civita a \(\displaystyle{ \delta}\). Bo wystarczy że powołamy się na cykliczność \(\displaystyle{ \varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{jki}=\varepsilon _{kij} \ \ \left( \clubsuit\right)}\) pozwala to zapisać:Oraz drugi problem: Jak udowodnić że \(\displaystyle{ A \cdot \vec{B} \times \vec{C} = \vec{C} \cdot \vec{A} \times \vec{B}}\) za pomocą właśnie symbolu Leviego-CIvity?
\(\displaystyle{ \bullet}\)
\(\displaystyle{ \left[ A \circ \left( B \times C\right) \right]_i=a_i\left[ B \times C\right]_i=a_i\varepsilon _{ijk}b_jc_k=\varepsilon _{ijk}a_ib_jc_k}\)
a następnie zmieniając cyklicznie \(\displaystyle{ \varepsilon _{ijk}}\) odwołanie do \(\displaystyle{ \left( \clubsuit\right)}\) zapisać że jest to:\(\displaystyle{ \left[ A\circ \left( B \times C\right) \right]_i=\varepsilon _{ijk}a_ib_jc_k=\varepsilon _{kij}a_ib_jc_k=c_k\varepsilon _{kij}a_ib_j=\left[ C\circ \left( A \times B\right) \right]_i}\)
Ponieważ dowód jest przeprowadzony dla dowolnego \(\displaystyle{ i}\) to jest on dowodem tezy. Co kończy dowód.