Macierz odwrotna
Macierz odwrotna
Witam,
tym razem mam zagłostkę z następującym tematem:
Wyznacz macierz odwrotną \(\displaystyle{ A ^{-1}}\), gdy macierz \(\displaystyle{ A}\) jest:
\(\displaystyle{ A= \ \left[\begin{array}{ccc}1&4&-4\\0&1&-1\\-1&1&0\end{array}\right]}\)
Sprawdzałam wyniki z internetowymi kalkulatorami ale w każdym też wychodzi inaczej
Poniżej zamieszczam mój sposób rozwiązania i prosiła bym o ewentualną korektę
(pomijam wyznaczania detA)
\(\displaystyle{ detA=1 \ \ \ A ^{-1}=\frac{1}{detA}\left| A ^{D} \right| ^{T}}\)
\(\displaystyle{ a _{11}=(-1) ^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1&-1\\1&0\end{array}\right|=1*0-(-1)*1=1}\)
\(\displaystyle{ a _{12}=(-1) ^{1+2}\left|\begin{array}{cc}0&-1\\-1&0\end{array}\right|=0*0-(-1)*(-1)=-1}\)
\(\displaystyle{ a _{13}=(-1) ^{1+3}\left|\begin{array}{cc}0&1\\-1&1\end{array}\right|=0*1-1*(-1)=1}\)
\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|=4*0-(-4)*1=4}\)
\(\displaystyle{ a _{22}=(-1) ^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1&-4\\-1&0\end{array}\right|=1*0-(-4)*(-1)=-4}\)
\(\displaystyle{ a _{23}=(-1) ^{2+3}\left|\begin{array}{cc}1&4\\-1&1\end{array}\right|=1*1-4*(-1)=5}\)
\(\displaystyle{ a _{31}=(-1) ^{3+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&-1\end{array}\right|=4*(-1)-(-4)*1=0}\)
\(\displaystyle{ a _{32}=(-1) ^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1&-4\\0&-1\end{array}\right|=1*(-1)-(-4)*0=-1}\)
\(\displaystyle{ a _{33}=(-1) ^{3+3}\left|\begin{array}{cc}1&4\\0&1\end{array}\right|=1*1-4*0=1}\)
\(\displaystyle{ A ^{-1}=(\frac{1}{1}) \ 1\left|\begin{array}{ccc}1&-1&1\\4&-4&5\\0&-1&1\end{array}\right| ^{T} \ = 1\left|\begin{array}{ccc}1&4&0\\-1&-4&-1\\1&5&1\end{array}\right|}\)
\(\displaystyle{ A ^{-1}=\left|\begin{array}{ccc}1&4&0\\-1&-4&-1\\1&5&1\end{array}\right| \leftarrow Wynik}\)
tym razem mam zagłostkę z następującym tematem:
Wyznacz macierz odwrotną \(\displaystyle{ A ^{-1}}\), gdy macierz \(\displaystyle{ A}\) jest:
\(\displaystyle{ A= \ \left[\begin{array}{ccc}1&4&-4\\0&1&-1\\-1&1&0\end{array}\right]}\)
Sprawdzałam wyniki z internetowymi kalkulatorami ale w każdym też wychodzi inaczej
Poniżej zamieszczam mój sposób rozwiązania i prosiła bym o ewentualną korektę
(pomijam wyznaczania detA)
\(\displaystyle{ detA=1 \ \ \ A ^{-1}=\frac{1}{detA}\left| A ^{D} \right| ^{T}}\)
\(\displaystyle{ a _{11}=(-1) ^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1&-1\\1&0\end{array}\right|=1*0-(-1)*1=1}\)
\(\displaystyle{ a _{12}=(-1) ^{1+2}\left|\begin{array}{cc}0&-1\\-1&0\end{array}\right|=0*0-(-1)*(-1)=-1}\)
\(\displaystyle{ a _{13}=(-1) ^{1+3}\left|\begin{array}{cc}0&1\\-1&1\end{array}\right|=0*1-1*(-1)=1}\)
\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|=4*0-(-4)*1=4}\)
\(\displaystyle{ a _{22}=(-1) ^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1&-4\\-1&0\end{array}\right|=1*0-(-4)*(-1)=-4}\)
\(\displaystyle{ a _{23}=(-1) ^{2+3}\left|\begin{array}{cc}1&4\\-1&1\end{array}\right|=1*1-4*(-1)=5}\)
\(\displaystyle{ a _{31}=(-1) ^{3+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&-1\end{array}\right|=4*(-1)-(-4)*1=0}\)
\(\displaystyle{ a _{32}=(-1) ^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1&-4\\0&-1\end{array}\right|=1*(-1)-(-4)*0=-1}\)
\(\displaystyle{ a _{33}=(-1) ^{3+3}\left|\begin{array}{cc}1&4\\0&1\end{array}\right|=1*1-4*0=1}\)
\(\displaystyle{ A ^{-1}=(\frac{1}{1}) \ 1\left|\begin{array}{ccc}1&-1&1\\4&-4&5\\0&-1&1\end{array}\right| ^{T} \ = 1\left|\begin{array}{ccc}1&4&0\\-1&-4&-1\\1&5&1\end{array}\right|}\)
\(\displaystyle{ A ^{-1}=\left|\begin{array}{ccc}1&4&0\\-1&-4&-1\\1&5&1\end{array}\right| \leftarrow Wynik}\)
Macierz odwrotna
Np. \(\displaystyle{ a_{12}=1.}\) O \(\displaystyle{ (-1)^{i+j}}\) pamiętaj. Dalej nie sprawdzam. Skontroluj wszystkie dopełnienia algebraiczne.
Macierz odwrotna
Wydaje mi się że mam dobrze lub co mam nadzieje się nie potwierdzi dalej nie rozumiem
Macierz odwrotna
Więc źle Ci się wydaje odnośnie tego, co napisałem. Ty masz źle, ja mam dobrze Sprawdziłem raz jeszcze. Wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ -1}\). Ale jeszcze masz coś przed nim: \(\displaystyle{ (-1)^{2+1}\cdot(-1)=1.}\)
Macierz odwrotna
Nie przy każdym wyznaczniku: tylko tam, gdzie wykładnik jest nieparzysty. Wygląda na to, że tego w ogóle nie uwzględniłaś. Dobrej nocy.
Macierz odwrotna
Noc z matematyką owszem że dobra
Zrobiłam jak potrafiłam, jak to zadanie powinno wyglądać ?
Zrobiłam jak potrafiłam, jak to zadanie powinno wyglądać ?
-
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
Macierz odwrotna
Byloby ok tylko nie uwzglednilas tych zmian znakow, napisalas je. Spojrzmy np. na to:
\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|=4*0-(-4)*1=4}\)
Powinno byc:
\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|= (-1) ^{2+1} (4 \cdot 0-(-4)\cdot1)= -1 (4\cdot0-(-4)\cdot1) = -4}\)
Analogicznie pozostałe elementy
\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|=4*0-(-4)*1=4}\)
Powinno byc:
\(\displaystyle{ a _{21}=(-1) ^{2+1}\left|\begin{array}{cc}4&-4\\1&0\end{array}\right|= (-1) ^{2+1} (4 \cdot 0-(-4)\cdot1)= -1 (4\cdot0-(-4)\cdot1) = -4}\)
Analogicznie pozostałe elementy
Macierz odwrotna
Analogicznie nieparzyste wykładniki tj nadmienił szw1710.
\(\displaystyle{ a _{12} (-1) ^{1+2}(0 \cdot 0-(-1) \cdot (-1)=(-1) \cdot (-1)=1}\)
\(\displaystyle{ a _{21} (-1) ^{2+1}(4 \cdot 0-(-4) \cdot 1=(-1) \cdot 4=-4}\)
\(\displaystyle{ a _{23} (-1) ^{2+3}(1 \cdot 1-4 \cdot (-1)=(-1) \cdot 5=-5}\)
\(\displaystyle{ a _{32} (-1) ^{3+2}(1 \cdot (-1)-(-4) \cdot 0=(-1) \cdot (-1)=1}\)
Teraz się zgadza ?
\(\displaystyle{ a _{12} (-1) ^{1+2}(0 \cdot 0-(-1) \cdot (-1)=(-1) \cdot (-1)=1}\)
\(\displaystyle{ a _{21} (-1) ^{2+1}(4 \cdot 0-(-4) \cdot 1=(-1) \cdot 4=-4}\)
\(\displaystyle{ a _{23} (-1) ^{2+3}(1 \cdot 1-4 \cdot (-1)=(-1) \cdot 5=-5}\)
\(\displaystyle{ a _{32} (-1) ^{3+2}(1 \cdot (-1)-(-4) \cdot 0=(-1) \cdot (-1)=1}\)
Teraz się zgadza ?
-
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 5 razy
Macierz odwrotna
Czy mógłby mi ktoś napisać, co to oznacza: \(\displaystyle{ |A^D|}\)? (zwłaszcza to \(\displaystyle{ D}\) Do tej pory wyznaczałem macierz odwrotną metodą eliminacji Gauss'a, pierwszy raz się spotykam z tym sposobem.
-
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy