rozwiazac rownania

[Pumba]

W ciele liczb zespolonych rozwiazac rownania:
1. \(\displaystyle{ z^{4}-4z^{3}+6z^{2}-4z-15=0}\)
2. \(\displaystyle{ z^{3}+3iz^{2}-3z-i+1=0}\)

[Harry Xin]

Ad. a)
Najpierw szukasz pierwiastków wymiernych, na przykład z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych o współczynnikach całkowitych (wspomóż się schematem Hornera). Z tego uzyskasz, że równanie spełniają
\(\displaystyle{ z \{ -1,3 \}}\)
Zostaje Ci do rozwiązania równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ z^{2}-2z+5=0}\)
Liczysz deltę - wyjdzie ujemna, ale wiesz że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\), więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \Delta }= \sqrt{-16}=4i
\\ z= \frac{2-4i}{2}=1-2i z= \frac{2+4i}{2}=1+2i}\)
Ostatecznie otrzymujesz:

\(\displaystyle{ z \{ -1,3,1-2i,1+2i \}}\)

[Qń]

2. \(\displaystyle{ z^{3}+3iz^{2}-3z-i+1=0}\)

Wskazówka - równoważnie:
\(\displaystyle{ (z+i)^3 + 1^3 = 0}\)

Q.