elementarne funkcje zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
aniolek24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 29 gru 2008, o 17:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Ropczyce

elementarne funkcje zespolone

Post autor: aniolek24 »

Wykazać, że

\(\displaystyle{ \overline{sin z}}\) = \(\displaystyle{ {sin}}\)\(\displaystyle{ \overline{z}}\)



Wykazać, że

\(\displaystyle{ \overline{cos z}}\) = \(\displaystyle{ {cos}}\)\(\displaystyle{ \overline{z}}\)

Bardzo prosiłabym choć o jedno, bo drugie napewno się robi anlogicznie, tylko nie wiem jak sie za to zabrać.
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

elementarne funkcje zespolone

Post autor: soku11 »

Wiemy, ze:
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|z|e^{i\varphi}\\
\overline{z}=|z|[\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi)]=|z|e^{-i\varphi}\\
x=|z|\cos\varphi\\
\begin{cases}
z=x+iy\\
\overline{z}=x-iy\\
\end{cases}\\}\)


Stad mozna wyznaczyc:
\(\displaystyle{ z+\overline{z}=2x\\
x=\frac{z+\overline{z}}{2}\\
|z|\cos\varphi=\frac{|z|(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})}{2}\\
\cos\varphi=\frac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}\\
\cos (z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\\}\)


Podobnie wyznaczamy sinus:
\(\displaystyle{ y=|z|\sin\varphi\\
y=\frac{z-\overline{z}}{2i}\\
\sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}\\}\)


Teraz mozemy sie wziac za wykazanie, np. drugiego (nie trzeba sie bawic z mianownikiem:
\(\displaystyle{ L=\overline{\cos z}=\overline{\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}=
\frac{1}{2}\left(\overline{e^{iz}+e^{-iz}}\right)=
\frac{1}{2}\left(\overline{e^{iz}}+\overline{e^{-iz}}\right)=
\frac{1}{2}\left(e^{-iz}+e^{iz}\right)=
\frac{e^{i\overline{z}}+e^{-i\overline{z}}}{2}=\cos \overline{z}=P}\)


Pozdrawiam.
aniolek24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 29 gru 2008, o 17:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Ropczyce

elementarne funkcje zespolone

Post autor: aniolek24 »

dziękuję bardzo za pomoc pozdrawiam ciepło papa

[ Dodano: 5 Stycznia 2009, 16:41 ]
Sorki, że jeszcze tak zapytam, skąd te przejścia są bo nie wiem po zatym wszystko rozumiem. Jakbyś jeszze mógł(mogła) mi to wyjasnić

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (\(\displaystyle{ \overline{e^{iz}}+\overline{e^{-iz}}}\)) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (\(\displaystyle{ {e^{-iz}}+{e^{iz}}}\)) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) (\(\displaystyle{ e^\overline{iz}}\) + \(\displaystyle{ e^\overline{-iz}}\))
ODPOWIEDZ