Wyznaczyć pierwiast z liczby zespolonej

[afrolook]

Jestem dziewczynką, wzory znam, ale w tym programie piszę pierwszy raz i mi się wszystko zlewa

Dziękuję za pomoc, a z tym pierwszym zadaniem z tego postu to mógłbyś mi pomóc?

[green_01]

Z tym pierwszym to tak: Beda 4 pierwiastki bo pierwiastek jest 4 stopnia.
Czyli liczymy znowu modul, cos, sin, kat - tj. w postaci tryg. I podstawiamy pod wzor

AU

19e6c3c90b7e7309158bc662f7092e08.png (1.35 KiB) Przejrzano 70 razy

gdzie n = 4 ( bo 4 stopnia) i k = 0,1,2,3... ( tyle ile pierwiastkow).

[afrolook]

Czyli ten przykład będzie wyglądał tak

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{i}}\)
|z| = 1 bo \(\displaystyle{ \sqrt{1^2 + 0}}\)
cos = 0;
sin = 1;

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{i}}\) = (\(\displaystyle{ \sqrt[4]{i}}\) ( cos \(\displaystyle{ \frac{0+2\pi k}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{)+ 2\pi k}{4}}\)

Tak więc dla k =0 ,1,2,3, mamy odpowiednio

z0= i (cos 0 + i sin 0 ) = 1

z1 = i (cos \(\displaystyle{ \frac{1 + 2 \pi}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{1+2 \pi}{4}}\) = i ( cos \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\)) = i ( \(\displaystyle{ \frac{-\sqrt{2}}{2}}\) + \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) i)

z2 = i ( cos \(\displaystyle{ \frac{2+2 \pi}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{2+2 \pi}{4}}\)) = i (cos \(\displaystyle{ \frac{4\pi}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{4 \pi}{4}}\)i) = i (cos pi + i sin pi) = -1

z3 + i (cos \(\displaystyle{ \frac{3+2 \pi}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{3+2 \pi}{4}}\) = i (cos \(\displaystyle{ \frac{5 \pi}{4}}\) + sin \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}}\)i) = ile?

[soku11]

Niestety nie tak
Masz znalezc liczby:
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{i}}\)

Czyli piszac po matematycznemu, musisz znalezc liczbe taka, ze:
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{i}=w}\)

Szukamy teraz tego 'w' (jakas niewiadoma, moze byc z, x, itd). Przeksztalcamy:
\(\displaystyle{ w^4=i\\}\)

Teraz po lewej mamy potege, po prawej liczbe zespolona \(\displaystyle{ z=0+i}\). Tutaj z miejsca widac wszystkie wlasciwosci tej liczby potrzebne do zapisania jej w postaci trygonometrycznej. Liczba i jest to bowiem punkt lezacy na osi \(\displaystyle{ \Im}\) oddalony od 0 o jedna jednostke. Tak wiec modul jest ok - wynosi jeden. Jednak nie zgadza sie u ciebie kat. Kat liczymy od dodatniej polprostej \(\displaystyle{ \Re}\). Nasz punkt lezy pod katem prostym do tej polprostej, wiec nasz kat to poprostu 90 stopni, czyli \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Mamy juz wiec wszystko co potrzeba:
\(\displaystyle{ w^4=i=1\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=
\cos \frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}}\)

Teraz korzystamy ze wzoru Demoivre'a:
\(\displaystyle{ w_k=\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4},\;\;\;k\in\{0,1,2,3\}}\)

Dzieki temu otrzymamy 4 pierwiastki \(\displaystyle{ w_0,\;w_1,\;w_2,\;w_3}\).

BTW. A jesli chcesz policzyc z definicji kat, to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\cos\varphi=0\\
\sin\varphi=1\end{cases}\;\;\Rightarrow\;\; \varphi=\frac{\pi}{2}}\)

Bierze sie to z wykresu + tabelka jak sie nie pamieta wartosci

Pozdrawiam.

[afrolook]

Czyli dalej będzie to wyglądało tak :

wo=1(cos 0 + sin0) = 1

w1 = 1 (cos \(\displaystyle{ \frac{1 + 2\pi}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{1+2\pi}{4}}\) ) = 1(cos \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{4}}\) ) = \(\displaystyle{ \frac{-\sqrt{2}}{2}}\) + \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) i

w2 = 1(cos \(\displaystyle{ \frac{4 \pi}{4}}\) + sin \(\displaystyle{ \frac{4 \pi}{4}}\)) = 1(-1+i ) = -1 + i

w3 = 1(c0s \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{5 \pi}{4}}\) = i ile to jest?

bo w tablicy nie znalazłam tej wartości, chyba, że ktoś dysponuje lepszą tablicą.

[soku11]

Nic nie zmienilas. Przepisalas tylko wczesniejszy post... Masz ogolny wzor na k-ty pierwiastek:
\(\displaystyle{ w_k=\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4},\;\;\;k\in\{0,1,2,3\}}\)

Wystarczy podstawic:
\(\displaystyle{ w_0=\cos \frac{\frac{\pi}{2}}{4}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}}{4}=
\cos \frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\\
\ldots}\)

Itd... Pozdrawiam.

[afrolook]

ok, rano się temu przyjrzę i poprawię no i oczywiście zamieszczę

[ Dodano: 4 Stycznia 2009, 12:11 ]
jeśli coś źle znów zrobiłam to mnie popraw, ale sądzę, że jest ok :

w1 = cos \(\displaystyle{ \frac{\pi/2 + \pi}{2}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{\pi/2 + \pi}{4}}\) = cos \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) = \(\displaystyle{ \frac{-\sqrt{2}}{2}}\) + \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) i


w2 = cos \(\displaystyle{ \frac{\pi/2 + 2*2\pi }{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{\pi/2 + 2*2\pi }{4}}\) = cos \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\) = \(\displaystyle{ 0 - 1i}\)

w3 = cos \(\displaystyle{ \frac{\pi/2 + 6\pi}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{\pi/2 + 6\pi}{4}}\) = \(\displaystyle{ \frac{7/2\pi}{2}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{7/2\pi}{2}}\) = cos \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\) + i sin \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\) = \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) - \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) i

[ Dodano: 5 Stycznia 2009, 09:53 ]
i co nikt nie powie czy dobrze? ;o)