Postac trygonometryczna

[green_01]

Witam,

Moze mi ktos wytlumaczyc dlaczego:

jesli z = -1 -i, to
\(\displaystyle{ z = \sqrt{2}(cos(\frac{-3}{4}\pi ) + isin(\frac{-3}{4}\pi ))}\)??

Z gory dziekuje.

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ z=-1-i\newline
x=a+bi\newline
a=-1\newline
b=-1\newline
|z|=\sqrt{a^2+b^2}\newline
|z|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\newline
\newline
cos\alpha = \frac{a}{|z|}\newline
cos\alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt2}{2}\newline
= -\frac{3}{4}\pi\newline
\newline
sin\alpha =\frac{b}{|z|}\newline
sin\alpha=\frac{-1}{\sqrt2}=\frac{-\sqrt2}{2}\newline
=-\frac{3}{4}\pi\newline
\newline
z=|z|(cos\alpha+isin\alpha)\newline
z=\sqrt{2}(cos(-\frac{3}{4}\pi)+isin(-\frac{3}{4}\pi))}\)

[green_01]

a nie powinno byc\(\displaystyle{ -\pi/4}\)

[sea_of_tears]

nie, ponieważ
\(\displaystyle{ cos(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}}\)

[green_01]

A możesz mi wytłumaczyć dlaczego tak jest? Nie bardzo rozumiem, dlaczego \(\displaystyle{ -\sqrt{2}/2 = -3/4\pi}\)

[sea_of_tears]

obliczyłam :
\(\displaystyle{ cos\alpha =-\frac{\sqrt2}{2} \newline
sin\alpha=-\frac{\sqrt2}{2}}\)
i teraz muszę znaleźć taki kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
by spełnione były dwie powyższe równości i właśnie takim kątem jest \(\displaystyle{ -\frac{3}{4}\pi}\)

[ Dodano: 1 Stycznia 2009, 19:41 ]
zatem jak widać nigdzie nie zostało zapisane, że \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{3}{4}\pi}\)
ale raczej powinieneś to rozumieć jako
\(\displaystyle{ cos(-\frac{3}{4}\pi)=-\frac{\sqrt2}{2}\newline
sin(-\frac{3}{4}\pi)=-\frac{\sqrt2}{2}\newline}\)

[green_01]

a gdyby byly takie pierwiastki:
\(\displaystyle{ cos = \frac{-\sqrt{3}}{2}
sin = \frac{-\sqrt{3}}{2}}\) to jaki by byl kat?

[sea_of_tears]

nie będzie istniał taki kąt, by oba były spełnione naraz

[green_01]

To jak zapisac ta liczbe w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ -\sqrt{3}-i}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ 2* (cos \frac{7 \pi}{6} + i sin \frac{7 \pi}{6})}\)

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ a=-\sqrt{3} \newline
b=-1\newline
|z|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\newline
cos\alpha=\frac{a}{|z|}\newline
cos\alpha=\frac{-\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}\newline
sin\alpha=\frac{b}{|z|}\newline
sin\alpha=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}\newline
=\frac{7}{6}\pi\newline
z=2(cos(\frac{7}{6}\pi)+isin(\frac{7}{6}\pi))}\)

[ Dodano: 1 Stycznia 2009, 22:43 ]

\(\displaystyle{ 2* (sin \frac{4 \pi}{3} + i cos \frac{4 \pi}{3})}\)

podstać trygonometryczna liczby zespolonej to
\(\displaystyle{ z=|z|(cos\alpha +i sin\alpha)}\)

masz sinus i cosinus na odwrót w swoim wzorze

[miodzio1988]

juz poprawione:D dzieki:D

[green_01]

Dobra, a w tym pierwszym przykladzie moze byc taka postac zamiast \(\displaystyle{ -3/4\pi}\) moze byc\(\displaystyle{ 5/4 \pi}\)

[sea_of_tears]

tak, może być również tam \(\displaystyle{ \frac{5}{4}\pi}\)
bo sinus i cosinus się powtarzają co 2pi

[green_01]

sea_of_tears, wielkie dzięki. Już wszystko rozumiem

Pozdrawiam.