Witam,
Mam taki problem z obliczeniem pierwiastków liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \sqrt{-8-6i}}\)
Moduł wynosi 10, a do postaci trygonometrycznej nie sprowadzę. Może ktoś to rozwiązać i podać sposób/metodę rozwiązywania takich pierwiastków?
Pozdrawiam.
Pierwiastki.
-
Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Pierwiastki.
\(\displaystyle{ \sqrt{-8-6i} = a + bi \ /^2 \\
-8-6i = a^2 - b^2 + 2abi}\)
Przyrównujemy część rz. i urojoną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 - b^2 = -8 \\ 2ab = -6 \end{cases}}\)
Rozwiąż ten ukł. równań i otrzymasz pierwiastki.
Pzdr.
-8-6i = a^2 - b^2 + 2abi}\)
Przyrównujemy część rz. i urojoną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 - b^2 = -8 \\ 2ab = -6 \end{cases}}\)
Rozwiąż ten ukł. równań i otrzymasz pierwiastki.
Pzdr.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Pierwiastki.
Można też skorzystać z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej i wzoru de Moivre'a.
Mamy \(\displaystyle{ -8-6i=10(\cos\alpha+i\sin\alpha)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha\in[0,2\pi)}\). Stąd łatwo dostajemy \(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac{4}{5},\ \sin\alpha=-\frac{3}{5}}\). Skoro \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin\alpha}\), to \(\displaystyle{ \alpha\in(\pi,\frac{3}{2}\pi)}\). Ze wzoru de Moivre'a dostajemy
Zatem \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}\in(\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{4}\pi)\subset(\frac{\pi}{2},\pi)}\), więc \(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha}{2}>0}\).
Ze wzorów na sinus i kosinus kąta połówkowego otrzymujemy
Mamy \(\displaystyle{ -8-6i=10(\cos\alpha+i\sin\alpha)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha\in[0,2\pi)}\). Stąd łatwo dostajemy \(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac{4}{5},\ \sin\alpha=-\frac{3}{5}}\). Skoro \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin\alpha}\), to \(\displaystyle{ \alpha\in(\pi,\frac{3}{2}\pi)}\). Ze wzoru de Moivre'a dostajemy
\(\displaystyle{ \sqrt{-8-6i}=\sqrt{10}(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2})}\)
lub \(\displaystyle{ \sqrt{-8-6i}=\sqrt{10}(-\cos\frac{\alpha}{2}-i\sin\frac{\alpha}{2})}\).
Pozostaje wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha}{2}}\) w zależności od \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin\alpha}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}\in(\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{4}\pi)\subset(\frac{\pi}{2},\pi)}\), więc \(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha}{2}>0}\).
Ze wzorów na sinus i kosinus kąta połówkowego otrzymujemy
\(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}}\).
Podobnie \(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\).
Stąd ostatecznie dostajemy \(\displaystyle{ \sqrt{-8-6i}=-1+3i}\)
lub \(\displaystyle{ \sqrt{-8-6i}=1-3i}\).