Zbadać na co przechodzi przy odwzorowaniu \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{z}}\)
a) rodzina okręgów \(\displaystyle{ |z - a| = |a| \ \ gdzie \ \ a R}\)
b) rodzina prostych równoległych \(\displaystyle{ y = x+ b \ \ gdzie \ \ b R}\)
c) rodzina prostych \(\displaystyle{ y = kx\ \ gdzie \ \ k R}\)
Jakbyście mogli to proszę o rozpisanie tego rozwiązania trochę. Dziękuje
Jeden wyraz na nazwę tematu to zdecydowanie za mało. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
luka52
Zbadać przeksztalcenie
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Zbadać przeksztalcenie
Czy nie chodziło przypadkiem o przekształcenie \(\displaystyle{ f(z) = z^{-1}}\)
Jeżeli tak, to np.
a) Całą rodzinę okręgów można zapisać parametrycznie jako \(\displaystyle{ a e^{it} - a}\), \(\displaystyle{ t [0, 2pi)}\).
Zatem podane odwzorowanie przekształca okręgi o r. \(\displaystyle{ a (e^{it} - 1)}\) w krzywe o równaniu \(\displaystyle{ (a e^{it} - a)^{-1} = -\tfrac{1}{2a} (1 + i \cot \tfrac{t}{2})}\) czyli proste o r. \(\displaystyle{ x= - \tfrac{1}{2a}}\).
Można powiedzieć ogólnie, że to odwzorowanie przekształca punkt \(\displaystyle{ z}\) tak, że punkty \(\displaystyle{ \overline{z}}\) i \(\displaystyle{ z^{-1}}\) są symetryczne względem okręgu jednostkowego o środku w początku układu współrzędnych (punkty te leżą na jednej prostej, a iloczyn ich odległości od początku układu współrzędnych wynosi 1).
Jeżeli tak, to np.
a) Całą rodzinę okręgów można zapisać parametrycznie jako \(\displaystyle{ a e^{it} - a}\), \(\displaystyle{ t [0, 2pi)}\).
Zatem podane odwzorowanie przekształca okręgi o r. \(\displaystyle{ a (e^{it} - 1)}\) w krzywe o równaniu \(\displaystyle{ (a e^{it} - a)^{-1} = -\tfrac{1}{2a} (1 + i \cot \tfrac{t}{2})}\) czyli proste o r. \(\displaystyle{ x= - \tfrac{1}{2a}}\).
Można powiedzieć ogólnie, że to odwzorowanie przekształca punkt \(\displaystyle{ z}\) tak, że punkty \(\displaystyle{ \overline{z}}\) i \(\displaystyle{ z^{-1}}\) są symetryczne względem okręgu jednostkowego o środku w początku układu współrzędnych (punkty te leżą na jednej prostej, a iloczyn ich odległości od początku układu współrzędnych wynosi 1).