Rozwiąż równanie, naszkicuj zbiór

[yzmaster]

1Równanie (postać wykładnicza)[jakby można prosić bez zbytniego "skracania operacji"]

\(\displaystyle{ -2 ft( \overline{z}\right) ^{2} = z ^{4}}\)

2. Naszkicować zbiór:
\(\displaystyle{ \{ z C : Re ft( iz ^{3} \right) = 0 \}}\)

[soku11]

2.
\(\displaystyle{ z=x+iy\\
z^3=(x+iy)^3=
x^3+3x^2iy-3xy^2-iy^3\\
iz^3=i(x^3+3x^2iy-3xy^2-iy^3)=
ix^3-3x^2y-3xy^2i+y^3\\
\Re(iz^3)=\Re(ix^3-3x^2y-3xy^2i+y^3)=
-3x^2y+y^3\\
-3x^2y+y^3=0\\
y(-3x^2+y^2)=0\\
y=0\;\;\;\vee\;\;\; y^2=3x^2\\
y=0\;\;\;\vee\;\;\; |y|=\sqrt{3}|x|\\}\)
A to juz jest latwe do narysowania


1.
\(\displaystyle{ -2(\overline{z})^2=z^4\\
z=x+iy=|z|e^{i\varphi}\\
\overline{z}=|z|e^{-i\varphi}\\
(\overline{z})^2=|z|^2e^{-i2\varphi}\\
z^4=|z|^4e^{i4\varphi}\\
-2|z|^2e^{-i2\varphi}=|z|^4e^{i4\varphi}\\
z=0\\
-2e^{-i2\varphi}=|z|^2e^{i4\varphi}\\
2e^{i\pi}e^{-i2\varphi}=|z|^2e^{i4\varphi}\\
2e^{i\pi-i2\varphi}=|z|^2e^{i4\varphi}\\
2e^{i(\pi-2\varphi)}=|z|^2e^{i4\varphi}\\
\begin{cases}
|z|^2=2\\
\pi-2\varphi=4\varphi\end{cases}\\
\begin{cases}
|z|=\sqrt{2}\\
\pi=6\varphi\end{cases}\\
\begin{cases}
|z|=\sqrt{2}\\
\frac{\pi}{6}=\varphi\end{cases}\\
z=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{6}}}\)

Pozdrawiam.