Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych

[Majka_1976]

_____
\(\displaystyle{ (z+2) ^{2} =(z+2) ^{2}}\) oraz wyznaczyć \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 \sqrt{3}+2i }}\)

Długa kreska ma być nad pierwszym nawiasem

[Crizz]

a.)
Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ (x-(y+2)i)^{2}=(x+(y+2)i)^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x-(y+2)i)^{2}-(x+(y+2)i)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ ((x-(y+2)i)-(x+(y+2)i))(x-(y+2)i)+(x+(y+2)i)=0}\)
\(\displaystyle{ -2(y+2)i 2x=0}\)

\(\displaystyle{ z_{1}=ai,a \Re}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=b-2i, b \Re}\)

[ Dodano: 16 Grudnia 2008, 16:50 ]
(rozwiązaniem są proste \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ y=-2i}\) na płaszczyźnie Gaussa)

[ Dodano: 16 Grudnia 2008, 17:00 ]
b.)
\(\displaystyle{ z=2\sqrt{3}+2i}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=4}\)
\(\displaystyle{ z=4(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=4(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})}\)
Z twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ w_{1}=\sqrt[3]{4}(cos\frac{\frac{\pi}{3}}{3}+isin\frac{\frac{\pi}{3}}{3}=\sqrt[3]{4}(sin\frac{\pi}{9}+icos\frac{\pi}{9})}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=\sqrt[3]{4}(cos\frac{\frac{\pi}{3}+2\pi}{3}+isin\frac{\frac{\pi}{3}+2\pi}{3}=\sqrt[3]{4}(sin\frac{7}{9}\pi+icos\frac{7}{9}\pi)}\)
\(\displaystyle{ w_{3}=\sqrt[3]{4}(cos\frac{\frac{\pi}{3}+4\pi}{3}+isin\frac{\frac{\pi}{3}+4\pi}{3}=\sqrt[3]{4}(sin\frac{13}{9}\pi+icos\frac{13}{9}\pi)}\)

[Dedemonn]

Niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ (x-(y+2)i)^{2}=(x+(y+2)i)^{2}}\)

Cofnijmy się kawałek:

\(\displaystyle{ (z+2)^2 \\
(x+yi+2)^2 = ((x+2) + yi)^2}\)

Także chyba mały błont.

[Crizz]

Fakt

W takim razie powinno być:
\(\displaystyle{ (x+2+yi)^{2}=(x+2-yi)^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x+2+yi+x+2-yi)(x+2+yi-x-2+yi)=0}\)
\(\displaystyle{ 4yi (x+2)=0}\)
\(\displaystyle{ y=0 x+2=0}\)
Zatem rozwiązaniem będzie zbiór liczb rzeczywistych oraz liczby postaci \(\displaystyle{ z=-2+bi,b \Re}\).

[ Dodano: 16 Grudnia 2008, 21:22 ]
Dzięki, Dedemonn.

[Majka_1976]

Wielkie dzięki za pomoc. Pozdrawiam.