Kilka zadań kolokwialnych.

[yzmaster]

Mam kolokwium zaliczeniowe i próbuje zrozumieć liczby zespolone. Definiowane przykłady które znajduje na necie po trochu zaczynam rozumieć ale mam przykładowy ziór zadań i oprócz potęgowania nic zabardzo z tego nie rozumiem. Mógłby ktoś rozwiązać te przykłady do przeanalizowania:

1. Naszkicować zbiór:
{z należy do C: 1

[Dedemonn]

1. Podstawiamy z = a+bi.
Mamy:
\(\displaystyle{ 1 }\)

Każda ze stron nierówności jest nieujemna, więc podnosimy do kwadratu i mamy:

\(\displaystyle{ |a+(b-1)i|^2 > 1^2 \ \ \wedge \ \ |a+(b-1)i|^2 1^2 \ \ \wedge \ \ a^2+(b-1)^2 }\)

Sprowadziliśmy nierówność do postaci wzoru na okrąg, co już mam nadzieję wiadomo jak narysować.

W zbiorze mamy jeszcze jedną nierówność, co jest swego rodzaju dziedziną zdaje się.
Po podstawieniu tak samo z = a+bi i wykonaniu paru prostych operacji otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 0 }\), zatem 'wyprowadzony' wcześniej wykres rysujemy tylko w tym przedziale.

[ Dodano: 16 Grudnia 2008, 12:44 ]
2. Korzystamy z postaci wykładniczej liczby zespolonej.
Przyp. \(\displaystyle{ z = r \cdot e^{\varphi i}}\)

\(\displaystyle{ \overline{z} \cdot z^4 = 32 \\
re^{-\varphi i} \cdot r^4e^{4\varphi i} = 32e^{0i} \\
r^5 \cdot e^{(4\varphi-\varphi)i} = 32e^{0i}}\)

A to jest spełnione wtw gdy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} r^5 = 32 \ \ \Rightarrow \ \ r = 2 \\ 3\varphi = 0 \ \ \Rightarrow \ \ \varphi = 0 \end{cases}}\)

Zatem równanie jest spełnione dla liczby \(\displaystyle{ 2e^{0i} = 2}\) ( r = -2 odrzucamy, bo r = |z| > 0 ).

Jeśli jest w tym zad. jakiś błąd, mam nadzieje, że ktoś go wyłapie.

[ Dodano: 16 Grudnia 2008, 12:53 ]
5. Nie będę rozwiązywał całego, tylko naprowadzę o co chodzi.

Mianownik naszego ułamka rozbijamy na wielomiany stopnia 1 lub (jeśli już brak pierwiastków) 2. Czyli:

\(\displaystyle{ x^3-x^2+4x-4 = x^2(x-1)+4(x-1) = (x^2+4)(x-1) = (x+1)(x-1)(x-1) = (x+1)(x-1)^2}\)

I mamy wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{-x^2}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}}\)

Mnożymy obie strony równości przez wspólny mianownik (czyli mianownik ułamka po lewej stronie). Otrzymujemy równanie, w którym za x podstawiamy pierwiastki mianowników. I tak:

dla x=1 otrzymujemy natychmiastowo \(\displaystyle{ C = -\frac{1}{2}}\),
dla x=-1 otrzymujemy \(\displaystyle{ A = -\frac{1}{4}}\)

Podstawiamy do równania obydwie wartości i pozostaje do wyliczenia B. Równanie jest spełnione dla każdego x'a, więc wstawiamy za x cokolwiek i otrzymujemy B.




Pozdrawiam.

[yzmaster]

dzięki wielkie.



mógłby ktoś rozwiązać zad nr 4?

i jakby ktoś wytłumaczył razem z redukowaniem dalszy ciąg zadania nr 3:

\(\displaystyle{ \left|z\right| = \sqrt{ \frac{1}{2} + ft( - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) } = 1}\)

\(\displaystyle{ \cos = \frac{1}{2} \sin = \frac{ \sqrt{3} }{2} \varphi = \frac{5\pi}{3}

= ft[z ft( \cos \frac{5\pi}{3} +i\sin \frac{5\pi}{3} \right) \right] ^{77} =
= 1 ^{77} ft( \cos 77 * \frac{5\pi}{3} +i\sin 77 * \frac{5\pi}{3} \right) = ?}\)

[mol_ksiazkowy]

wsk \(\displaystyle{ \sqrt[3]{8-8i} =2 \sqrt[3]{1-i}}\)
\(\displaystyle{ 1-i= \sqrt{2} (cos ( \frac{7 \pi}{4}) +i sin( \frac{7 \pi}{4}) )}\)

[ Dodano: 16 Grudnia 2008, 20:16 ]
I co do ostatniego , wsk
\(\displaystyle{ 77* \frac{5\pi}{3} = 128\pi + \frac{\pi}{3}}\)