Wielomian \(\displaystyle{ P(z)=(z ^{3} + 1) ^{2}}\) rozłożyć na iloczyny dwumianów.
Bardzo proszę o pomoc... sam nie daje rady... :/ a to bardzo ważne
wielomiany zespolone
-
przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1094
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
wielomiany zespolone
no to masz
\(\displaystyle{ z^3+1 = (z+1)(z^2-z+1) \\
z^2-z+1 = z^2-z+\frac{1}{4} + \frac{3}{4} =
(z-\frac{1}{2})^2-(i\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = (z-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2})((z-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}) \\}\)
czyli ostatecznie
\(\displaystyle{ P(z) = (z+1)^2 (z-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2})^2 (z-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2})^2}\)
\(\displaystyle{ z^3+1 = (z+1)(z^2-z+1) \\
z^2-z+1 = z^2-z+\frac{1}{4} + \frac{3}{4} =
(z-\frac{1}{2})^2-(i\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = (z-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2})((z-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}) \\}\)
czyli ostatecznie
\(\displaystyle{ P(z) = (z+1)^2 (z-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt3}{2})^2 (z-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2})^2}\)