Uzasadnić, że pole trójkąta, którego jeden wierzchołek jest w początku układu współrzędnych a pozostałe dwa w pkt z1, z2 wyraża się wzorem \(\displaystyle{ 1/2|Im(\overline{z1}*z2)|}\)
Z góry wielkie dzięki
udowodnić wzór
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
udowodnić wzór
Wzór na pole trójkąta o wierzchołkach w punkctach A,B,C:
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2} |det( \vec{AB} , \vec{AC})|}\)
Niech teraz
\(\displaystyle{ A=(0,0),B=z_{1}=(x_{1},y_{1}),C=z_{2}=(x_{2},y_{2})}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}Im|(\overline(z_{1}) z_{2})|=\frac{1}{2}|Im(x_{1}-y_{1}i)(x_{2}+y_{2}i)|= \\ =\frac{1}{2}|Im(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})i)|=\frac{1}{2}| x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} |=\frac{1}{2}\cdot |det( \vec{AB} , \vec{AC})|}\)
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2} |det( \vec{AB} , \vec{AC})|}\)
Niech teraz
\(\displaystyle{ A=(0,0),B=z_{1}=(x_{1},y_{1}),C=z_{2}=(x_{2},y_{2})}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}Im|(\overline(z_{1}) z_{2})|=\frac{1}{2}|Im(x_{1}-y_{1}i)(x_{2}+y_{2}i)|= \\ =\frac{1}{2}|Im(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})i)|=\frac{1}{2}| x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} |=\frac{1}{2}\cdot |det( \vec{AB} , \vec{AC})|}\)