Mam takie zadanie.
Znaleźć i przedstawić graficznie wszystkie pierwiastki wielomianu:
\(\displaystyle{ W(z) = z^{4} - iz^{2} +2}\)
W jaki sposób to obliczyć? Nie wiem nawet co podstawić aby wyszlo W(z)=0 Proszę o pomoc!
Przedstawienie graficzne pierwiastków
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Przedstawienie graficzne pierwiastków
\(\displaystyle{ W(z)=z^4-iz^2+2\\
z^2=x\\
W(x)=x^2-ix+2\\
\Delta=i^2-8=-9=(3i)^2\\
x_1=\frac{i-3i}{2}=-i\\
x_2=\frac{i+3i}{2}=2i\\
W(x)=(x+i)(x-2i)\\
z^2=-i\;\;\vee\;\;z^2=2i\\
z^2=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\;\;\vee\;\; z^2=2\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\\
z_k=\cos \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{2}+i\sin \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{2}\;\;\vee\;\;
z_k=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right),\;\;\;k\in\{0,1\}}\)
Podstawiasz i otrzymujesz w sumie 4 pierwiastki Pozdrawiam.
z^2=x\\
W(x)=x^2-ix+2\\
\Delta=i^2-8=-9=(3i)^2\\
x_1=\frac{i-3i}{2}=-i\\
x_2=\frac{i+3i}{2}=2i\\
W(x)=(x+i)(x-2i)\\
z^2=-i\;\;\vee\;\;z^2=2i\\
z^2=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\;\;\vee\;\; z^2=2\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\\
z_k=\cos \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{2}+i\sin \frac{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}{2}\;\;\vee\;\;
z_k=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right),\;\;\;k\in\{0,1\}}\)
Podstawiasz i otrzymujesz w sumie 4 pierwiastki Pozdrawiam.