Trzy proste rownania

[nico89]

prosilbym o pomoc i w miare mozliwosic wytluamczenie 3 prostych rownan z liczb zespolonych. DOdam ze nie znam sposobu rozwiazywania rownan na liczbach zepolonych(poczatkujacy).

1.\(\displaystyle{ z ^{4} =(1-i) ^{4}}\)
2. \(\displaystyle{ (z-1) ^{6} = (i - z) ^{6}}\)
3.\(\displaystyle{ z ^{3}= (iz+1) ^{3}}\)

[maise]

Wydaje mi się, że to będzie wyglądać w ten sposób:
\(\displaystyle{ z^4=(1-i)^4\\
z= \sqrt[4]{(1-i)^4} \\
\begin{cases}
z=1-i\\
z=a+bi\\
a=rez\\
b=imz
\end{cases}
\\
1-i=a+bi\\

\begin{cases}
a=1\\
bi=-i
\end{cases}
\\
\begin{cases}
a=1\\
b=i b=-i
\end{cases}}\)

[nico89]

Nie wiem czemu ale wydaje mi sie ze nie jest to dobre rozwiązanie. Mogłby ktos pomoc? Powinno wyjsc 4 pierwiastki co akurat nie jest trudne, bardziej zalezy mi na 2 pozostalych przykladach.

[xiikzodz]

1. \(\displaystyle{ z\in\{(1-i),(i-1),i(1-i),-i(i-1)\}}\)
2. Rozwiazujemy rownanie \(\displaystyle{ t^6=1}\), wychodzi \(\displaystyle{ 6}\) pierwiastkow postaci: \(\displaystyle{ cos\frac{k\pi}{3}+i\sin\frac{k\pi}{3}}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,4,5}\).
Skad
\(\displaystyle{ z\in\left\{(1-i)\left(cos\frac{k\pi}{3}+i\sin\frac{k\pi}{3}\right):k=0,1,2,3,4,5\right\}}\)
3. Rozwiazujemy rownanie:

\(\displaystyle{ z=iz+1}\)

Wychodzi

\(\displaystyle{ z=\frac{1}{1-i}}\)

skad jedno rozwiazanie. Pozostale 2 rozwiazania otrzymujemy mnozac to szczegolne przez pierwiastki 3 stopnia z 1, czyli przez liczby\(\displaystyle{ \frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}}\). Stad odpowiedz:

\(\displaystyle{ z\in\left\{\frac{1}{1-i},\frac{-1+i\sqrt 3}{2(1-i)},\frac{-1-i\sqrt 3}{2(1-i)}\right\}}\).