Równanie kwadratowe

[maciejd86]

Może ktoś to rozwiązać krok po kroku

\(\displaystyle{ x^{2}+x+1+i=0}\)

[maise]

\(\displaystyle{ x^2+x+(1+i)=0\\
\Delta=1^2-4\cdot 1(1+i)\\
\Delta=1-4(1+i)\\
\Delta=-3-4i\\
\Delta=(1-2i)^2\\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{(1-2i)^2} \\
\sqrt{\Delta} =1-2i\\
x_{1}= \frac{-1-(1-2i)}{2} = \frac{-2+2i}{2} =-1+i\\
x_{2}= \frac{-1+(1-2i)}{2} = \frac{-2i}{2} =-i\\}\)

[Ewcia]

Maise mam takie pytanko jak doszlas do tego, że
\(\displaystyle{ \Delta= -3-4i}\)
\(\displaystyle{ \Delta= (1-2i)^2}\)

[maise]

Ze wzoru skróconego mnożenia:

\(\displaystyle{ \Delta=1-4(1+i)=1-4-4i=-3-4i\\
\\
(1-2i)^2=1^2-2\cdot 1\cdot2 i+2^2i^2=1-4i+4(-1)=-3-4i}\)

[Ewcia]

tak ja to rozumie , ale Ty juz zrobilas z tego wzoru ,a ja chce na owdrot jak mam to widziec ze
\(\displaystyle{ -3-4i}\)to jest wlasnie to \(\displaystyle{ 1-2i}\) do kwadratu
Moglabys mi wytlumaczyc jak do tego dojsc jak wychodzi mi delta ujemna w jakims rownaniu kwadratowym ale nie taka delta typu -5 , -3 , tylko jakas zlozona tak jak w tym przykladzie np. dwuczlonowa ,to jak mam znalezc liczbe ktora podniesiona do kwadratu da nam tą delte ( jak mam znalezc ten pierwiastek...
bo widzisz gdyby tu nie bylo napisane ze \(\displaystyle{ -3-4i}\) to jest kwadrat tej liczby : \(\displaystyle{ 1-2i}\) to ja bym na to nie wpadlA chodzi mi o to rozwiazywania takich zadan jak znalezc ten pierwiastek ...
z góry dziekuje

[maise]

\(\displaystyle{ \begin{cases}
a=rez\\
b=imz\\
(a+bi)^2=-3-4i
\end{cases}
\\
a^2+2abi-b^2=-3-4i\\

\begin{cases}
a^2-b^2=-3\\
2abi=-4i
\end{cases}
\\
\begin{cases}
a^2-b^2=-3\\
2ab=-4
\end{cases}
\\
\begin{cases}
a= \frac{-2}{b} \\
a^2-b^2=-3\\
\end{cases}
\\
( \frac{-2}{b} )^2-b^2=-3\\
\frac{4}{b^2}-b^2=-3\\
4-b^4=-3b^2\\
-b^4+3b^2+4=0
\\
-b^2(b^2+1)+4(b^2+1)=0\\
(-b^2+4)(b^2+1)=0\\
-b^2+4=0 \ \ b^2+1=0\\
-b^2+4=0 \\
b^2=4\\
b=2 \ b=-2\\
\\
\begin{cases} b=-2 \\ a=1 \end{cases} \ \ \begin{cases} b=2 \\ a=-1 \end{cases}}\)